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E3A Mathématiques A PSI 2009

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GéométrieCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales à paramètresFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généralisées

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E3A PSI E3A 2009 PSI Maths Maths 2009

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Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Applications simples du cours

Rappels.

Soit

(avec

) un intervalle de

un ouvert de

.
On considère :

un champ de vecteurs et

un arc orienté du plan de paramétrage :

, de classe

par morceaux sur

, parcouru dans le sens des

croissants.
On rappelle que la circulation de

le long de

, notée

se calcule par la formule :

On suppose

de classe

sur

. L'arc

est supposé fermé, sans point double et parcouru dans le sens trigonométrique. Il délimite un domaine

d'un seul tenant, inclus dans

.
On rappelle la formule de Green-Riemann :

Question 1.

Dans cette question uniquement, on prend

et pour

l'arc frontière délimitant ce domaine,
parcouru dans le sens trigonométrique.
1.1. Représenter le domaine

.
1.2. Calculer directement, en paramétrant l'arc :

avec

.
1.3. Retrouver le résultat précédent en utilisant la formule de Green-Riemann.

Question 2.

On suppose que les deux fonctions

vérifient : pour tout

.
2.1. Que vaut :

?
2.2. Donner un exemple de champ de vecteurs

, non identiquement nul, et vérifiant la propriété :

Question 3.

3.1. Démontrer que les intégrales curvilignes suivantes :

sont égales.
Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
3.2. Représenter graphiquement l'arc orienté

d'équations paramétriques :

dans un repère orthonormé

direct.
On précisera les tangentes aux points singuliers.
3.3. Déterminer l'aire délimitée par la courbe

Problème

Préliminaires

Illustrer graphiquement la double inégalité : .
On veut montrer que l'intégrale est convergente.

On pose alors, pour tout

.
2.1. Vérifier que

est prolongeable par continuité sur l'intervalle

.
2.2. Pour tout

, on définit

Montrer que l'on a:

.
2.3. Prouver que

tend vers une limite finie lorsque

tend vers

.
2.4. Déduire de ces résultats que l'intégrale

est convergente.

Partie 1 : Une première façon de calculer

Soient les deux fonctions :

le champ de vecteurs :

Question 1.

Justifier le fait que

sont deux fonctions de classe

sur tout domaine

ne contenant pas l'origine.

Question 2.

Soit

un arc fermé sans point double, n'entourant pas l'origine et parcouru dans le sens trigonométrique.
Démontrer que:

Question 3.

On considère

l'arc de cercle de rayon

paramétré par :

et on note

l'intégrale :

3.1. Montrer que :

.
3.2. Calculer :

.
3.3. Montrer que :

On pourra, par exemple, utiliser les préliminaires.

Question 4.

Soient

deux réels tels que :

. On considère l'arc

constitué par :

le segment

où

: le quart de cercle de centre

et de rayon

reliant

: le segment

où

: le quart de cercle de centre

et de rayon

reliant

.
4.1. Représenter graphiquement l'arc orienté

dans un repère orthonormé

direct.
4.2. Montrer que:

.
4.3. Vérifier que :

.
4.4. En utilisant les résultats précédents, déterminer la valeur de

Partie 2 : Une deuxième façon de calculer

On pose, pour tout

Question 1.

1.1. Vérifier que

existent pour toute valeur de l'entier naturel

non nul.
1.2. En calculant

, montrer que

est indépendante de

et donner sa valeur.

Question 2.

Soit

une fonction de classe

sur un segment

à valeurs dans

.
On pose, pour tout

.
Montrer, en utilisant une intégration par parties que :

Ce résultat est connu sous le nom de Lemme de Riemann-Lebesgue.

\section*{

Question 3.

}

Montrer que la fonction

est prolongeable en une fonction de classe

sur

Question 4.

4.1. Calculer :

.
4.2. En déduire la valeur de

Partie 3 : Une troisième façon de calculer

Soit

. On note

Question 1.

Donner une primitive de la fonction

où

Question 2.

En utilisant l'intégrale

, montrer que :

Question 3.

On note alors :

.
3.1. Prouver que :

.
3.2. En utilisant une majoration, déterminer :

.
3.3. Retrouver alors la valeur de

Question 4.

4.1. Montrer que l'intégrale

est convergente.
4.2. En utilisant le résultat de la question 3.3. calculer la valeur de

Fin du problème.