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E3A Mathématiques A PSI 2008
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Séries entières (et Fourier)Séries et familles sommablesEquations différentiellesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
Concours ENSAM－ESTP－ARCHIMEDE
Épreuve de Mathématiques A PSI
Durée 3 h
Si，au cours de l＇épreuve，un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d＇énoncé， d＇une part il le signale au chef de salle，d＇autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu＇il est amené à prendre．
L＇usage de calculatrices est interdit．
Questions de cours．
Question 1.
Les assertions suivantes，dans lesquelles
1）
2）
3）
4）
1）
2）
3）
4）
Question 2.
Etudier la convergence de la série ：
Préliminaires ：
Soit
Soit
Soit
On pose, pour tout
- On écrit alors, pour tout
,
1.1. Prouver que :
1.2. En déduire que la suite (
2. Prouver alors le cas général :
"
On pourra par exemple utiliser la suite
3. On prend dans cette question :
3.1. Montrer que :
1.2. En déduire que la suite (
2. Prouver alors le cas général :
"
On pourra par exemple utiliser la suite
3. On prend dans cette question :
3.1. Montrer que :
3.2. La suite (
3.3. On prend ici
3.3. On prend ici
La suite
3.4. Conclure.
3.4. Conclure.
Partie 1.
Soit
i)
i)
- Montrer qu'il existe un réel
tel que :
- En déduire que la série
converge absolument pour tout .
On note alors
Désormais, on suppose de plus que :
ii)
3. Pour tout
ii)
3. Pour tout
Prouver que l'on peut écrire :
4.1. Justifier l'existence, pour tout entier naturel
4.2. Prouver que la suite (
5. Déduire de ce qui précède que :
4.1. Justifier l'existence, pour tout entier naturel
4.2. Prouver que la suite (
5. Déduire de ce qui précède que :
puis que :
- On prend:
.
En utilisant tout ce qui précède, y compris les préliminaires, prouver alors que
7. Conclure en énonçant clairement le résultat obtenu concernant la fonction
7. Conclure en énonçant clairement le résultat obtenu concernant la fonction
Partie 2.
Soit
- Sur quels intervalles peut-on résoudre
? - On note
. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de ( ) sur ? - Développer en série entière autour de l'origine les fonctions
et .
Donner les domaines de convergence des séries obtenues.
4. Trouver une solution développable en série entière autour de l'origine de
4. Trouver une solution développable en série entière autour de l'origine de
Donner le rayon de convergence de la série entière obtenue.
5. Soit
5.1. Déterminer les constantes
5. Soit
5.1. Déterminer les constantes
5.2. Soient pour
Montrer que
5.3. En déduire une expression simple de
5.3. En déduire une expression simple de
On pourra poser
5.4. En déduire une expression de
5.5. Calculer la valeur de
6. Soit pour
6.1. Vérifier que la suite
6.2. Calculer, à l'aide des résultats précédents, la valeur de
7. On se propose dans cette question de retrouver la valeur de
5.4. En déduire une expression de
5.5. Calculer la valeur de
6. Soit pour
6.1. Vérifier que la suite
6.2. Calculer, à l'aide des résultats précédents, la valeur de
7. On se propose dans cette question de retrouver la valeur de
Soit
Prouver que
Conclure.
Prouver que
Conclure.
Partie 3.
Soit
On note alors, pour
On note alors, pour
- La série
est-elle toujours convergente ?
On pourra utiliser des résultats établis dans la partie précédente.
2. On suppose de plus, et dans cette question uniquement, que:
2. On suppose de plus, et dans cette question uniquement, que:
Montrer que la série
3. On revient au cas général.
3. On revient au cas général.
En utilisant un résultat établi dans l'une des parties précédentes, quelle condition suffit-il de rajouter concernant la suite