Si , au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Soit un entier naturel .
On note l'espace vectoriel euclidien , de dimension , muni de sa base canonique orthonormale et l'ensemble des endomorphismes de .
désigne le produit scalaire des vecteurs et lorsqu'ils sont représentés dans la base par les matrices unicolonnes et .
Sa norme associée sera notée .
L'endomorphisme identité de est noté et sa matrice dans n'importe quelle base : .
Pour , on note .
Enfin, si est l'ensemble de ses valeurs propres.

Soit un endomorphisme de et sa matrice dans la base .
Dans cette partie, n'est pas inversible.

Soit l'endomorphisme de représenté dans la base par la matrice de telle que où :

Le but de cette partie est de calculer les éléments propres de sans utiliser son polynôme caractéristique.

1.1. Justifier que les valeurs propres de sont réelles et que la matrice est diagonalisable sur R.
se décompose sous la forme : et désigne l'endomorphisme de associé à la matrice .
1.2. Prouver l'équivalence : .

Comparer alors les sous-espaces et

Question 2.
Soit une valeur propre de .
2.1. Montrer qu'il existe tel que .
2.2. En déduire que .

Justifier alors l'existence d'un réel tel que .

La question consiste à rechercher un et une suite complexe telle que :

3.1. A quelle condition le vecteur représenté dans la base par est-il un vecteur propre de pour la valeur propre

Dans la suite, cette condition est vérifiée.
3.2. Prouver que .
3.3. Montrer l'existence de deux nombres complexes et tels que:

( désigne le nombre complexe tel que ).
3.4. En déduire les valeurs possibles pour .
3.5. Déterminer les valeurs propres de . Donner une base de vecteurs propres de .

Question 4. : Valeurs propres de :
Prouver que les valeurs propres de sont les et que les sous-espaces propres associés sont de dimension 1.
Donner une base de chaque .

Pour tout réel strictement positif, on considère les deux matrices : et où désigne la matrice définie à la partie 1

Question 1. : Quelques propriétés de la matrice .
1.1. Déterminer les éléments propres de .
1.2. Montrer que est inversible.

Soit l'endomorphisme de représenté dans le base par la matrice
2.1. Déterminer les éléments propres de .

Soit une matrice symétrique, son spectre et l'endomorphisme de représenté dans la base par la matrice .
3.1. Démontrer qu'il existe un plus grand réel et un plus petit réel , que l'on exprimera en fonction des valeurs propres de la matrice , tels que :
.
3.2. En notant: , prouver que .

Vérifier que :
i) est une matrice symétrique ;
ii) pour tout réel , on a : .

Question 5.
Déterminer la limite de la suite lorsque .

Fin du sujet.