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E3A Mathématiques A PSI 2004

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsTopologie/EVNEquations différentielles
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Banque
E3A
Année
2004
Filière
PSI
Matière
Maths
E3A PSIE3A 2004PSI MathsMaths 2004
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Concours ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A PSI
durée 3 heures

L'usage des calculatrices est interdit

Dans tout le problème, désigne le corps des réels, l'espace vectoriel des fonctions continues, définies sur et à valeurs dans l'espace vectoriel des fonctions de classe , définies sur et à valeurs dans .
Pour tout , on note et on rappelle que l'on définit ainsi une norme sur .
Si est une application fois dérivable sur désigne la dérivée - ième de .

Préliminaires.

Soit et une fonction de classe sur .
On suppose que: .
Prouver que : .

Partie I : Pour donnée, recherche de vérifiant la relation :

Question 1.

  1. Montrer l'équivalence :
On note () l'équation différentielle .
2. Résoudre l'équation différentielle ().

Question 2.

Prouver que ( ) possède dans une unique solution définie par :

Question 3 : Application.

Déterminer la solution lorsque est la fonction .
Partie II: Quelques propriétés de la fonction définie par :
On définit l'application qui à associe l'application , définie sur [ 0,1 ] par :
Pour tout , on note , sachant que (application identité de ).
Lorsque est un endomorphisme continu de , on désigne par le réel positif :

Question 1.

  1. Montrer que est un endomorphisme de .
  2. Préciser et .
  3. Quel est l'ensemble des valeurs propres de ?

Question 2.

  1. Montrer que .
En déduire que est une application continue de ( ) dans ( ).
2. Prouver que .
3. On considère . Que vaut ?
4. Calculer .

Question 3.

Soit .
  1. Montrer que est de classe sur .
  2. Prouver que pour tout entier naturel , .
  3. Que vaut ? pour ?
  4. Montrer alors que : .
  5. Préciser et .
  6. Prouver que est un endomorphisme continu de ( ).
  7. En utilisant la fonction définie à la question 2., prouver que: .
  8. En déduire que : . Préciser .
Partie III : Pour donnée, recherche de vérifiant
On note l'application qui à associe l'application définie sur par :

Question 1.

  1. Montrer que est un endomorphisme de .
  2. Prouver que : tel que .
En déduire que est continue de ( ) dans ( ) et que .
3. Montrer que est sur . Calculer, pour .

Question 2.

Prouver que , la série converge absolument.
Pour tout de et tout de , on note .

Question 3.

On se propose de montrer que .
  1. On pose, pour fixé dans fixé dans et fixée dans
Montrer que la série de fonctions converge normalement sur .
2. Prouver alors que .
En déduire que .

Question 4.

  1. On note .
En calculant, pour , trouver telle que : .
2. Prouver alors que l'équation ( ) possède une unique solution dans .
3. Déterminer .
4. Que constate-t-on?
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