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E3A Mathématiques A PC 2011

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GéométrieFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesSuites et séries de fonctions
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Banque
E3A
Année
2011
Filière
PC
Matière
Maths
E3A PCE3A 2011PC MathsMaths 2011
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Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A PC

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Problème.

  • La présentation, la lisibilité, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements, l'énoncé exact des théorèmes de cours utilisés entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
    Les quatre parties sont très largement indépendantes.
  • Dans tout le problème :
  • désigne la fonction définie sur par .
  • désigne l'unique primitive de qui s'annule en 0 donc .
    .
    pour tout .

Partie I: Résultats préliminaires.

  1. Etude de :
    a) Etudier la fonction puis tracer sa courbe représentative .
    b) ( ) possède-t-elle des points d'inflexion? Si oui, les déterminer.
    c) Donner le développement limité à l'ordre 8 en 0 de .
    d) Donner les valeurs de pour . Enoncer avec soin le ou les théorème(s) utilisé(s).
  2. Etude de :
    a) Etudier la monotonie de la suite .
    b) La suite est-elle une suite convergente?
    c) Montrer que pour tout .
    d) Quel est le rayon de convergence de la série entière ?
  3. Etude d'une intégrale impropre:
    a) Justifier l'existence de . Enoncer avec précision le théorème utilisé.
    b) Justifier l'existence de .
    c) Montrer que (justifier avec soin).
    d) En déduire que .
    e) i) Montrer que la série de terme général converge.
    ii) Montrer que .

Partie II : Intégrales de Wallis.

Dans cette partie si désigne l'intégrale suivante: .
  1. Calculer et .
  2. Montrer que pour tout .
  3. Montrer que pour tout .
  4. Montrer que est une suite décroissante et convergente.
  5. Montrer que pour tout avec (utiliser une intégration par parties).
  6. Montrer que la suite est constante (donner sa valeur).
  7. Montrer que pour tout et .
  8. a) Montrer que pour tout avec .
    b) Calculer la limite des suites de terme général : et .
    c) Donner un équivalent de quand tend vers .
  9. a) Montrer que pour tout .
    b) En déduire que le terme est équivalent à quand tend vers .
    c) Donner la nature des séries de terme général :
    i)
    ii)
    iii)
    iv)

Partie III: Etude de :

On note ( ) la courbe représentative de dans un repère ( ) orthonormé du plan.
  1. Etude globale de :
    a) Montrer que est de classe sur .
    b) Donner le sens de variation de sur .
    c) Montrer que est impaire.
    d) Montrer que pour tout .
    e)Enoncer le théorème concernant l'existence de la limite en d'une fonction croissante définie sur (où ).
    f) Déduire des 2 questions précédentes que a une limite finie en .
  2. Etude locale de :
    a)Donner le développement limité de en 0 à l'ordre 9 . Enoncer le théorème utilisé.
    b)Donner une équation de la tangente Ta à ( ) au point d'abscisse 0 et préciser la position de par rapport à T au voisinage de 0 .
    c) La courbe ( ) possède-t-elle des points d'inflexion ? Si oui, les déterminer.
  3. Lien avec :
    a) Montrer que pour tout .
    b) En déduire que la limite de en est égale à .
    c) En utilisant la partie I)3), montrer que la limite de en est et retrouver le résultat de III)3)b).
  4. Tracé de (C):
    a)Dresser le tableau de variations de .
    b) Donner une équation de la tangente à (C) au point d'abscisse 1.
    c) Tracer ( ) en tenant compte des différents points de l'étude précédente. Pour le tracé, prendre .
  5. Quelques applications de :
    a) Résoudre l'équation différentielle ( E ) : .
    b) On considère la courbe paramétrée : (Г) .
    i) Montrer que l'étude de ( ) peut être restreinte à . Préciser alors les symétries de ( ).
    ii) Dresser le tableau de variations de ( ).
    iii) Déterminer de manière précise le comportement de ( ) quand tend vers .
    iv) Tracer la courbe ( ).
    c) On considère la fonction
    i) Montrer pour tout , les trois inégalités suivantes :
ii) Justifier que est continue sur .
iii) Calculer pour et .
iv) est-elle de classe sur ?

Partie IV : Développement en série entière de et utilisation.

On considère la série entière , on note sa somme.
On rappelle le résultat de la question II)9)b) : est équivalent à .
  1. Etude de h:
    a) Donner le rayon de convergence de la série entière définissant .
    b) Montrer que et existent.
    c) Enoncer le théorème de continuité de la somme d'une série entière de rayon sur le segment et en déduire que est continue sur .
    d) i) Montrer que la série de fonctions est normalement convergente sur .
    ii) Retrouver le résultat de IV)1)c). Enoncer le théorème utilisé.
  2. Développement en série entière de :
    a) Rappeler, si , le développement en série entière de la fonction définie par . Sur quel intervalle ce développement est-il valable?
    b) En déduire que puis sont développables en série entière au voisinage de 0 et préciser leur développement en série entière.
    c) Montrer que pour tout (on pourra utiliser IV)1)c)).
    d) En déduire que .
  3. Valeur approchée de :
Dans cette question, si désigne la è somme partielle de la série soit .
a) Montrer que pour tout .
b) Montrer que pour tout utiliser II)9)a)).
c) En déduire un entier tel que soit une valeur approchée de à près.
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