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E3A Mathématiques A PC 2010

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresSéries entières (et Fourier)Equations différentielles
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Banque
E3A
Année
2010
Filière
PC
Matière
Maths
E3A PCE3A 2010PC MathsMaths 2010
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Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A PC

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Ce problème a pour objet l'étude de la transformation de Laplace. Les parties I et II sont consacrées à la définition et à certaines propriétés de cette transformation. Les résultats de ces deux parties pourront être admis pour aborder la partie III. Enfin, la partie IV est totalement indépendante des parties II et III.
Dans tout ce problème, désignera l'ensemble constitué par toutes les fonctions , définies et continues sur , à valeurs réelles et vérifiant la propriété suivante :
il existe un réel , un réel et un entier tels que

Partie I : la transformation de Laplace

  1. Pour tout entier et tout réel , on considère l'intégrale impropre
(a) Vérifier que pour tout réel , l'intégrale est convergente et que
(b) En effectuant une démonstration par récurrence, montrer que pour tout entier et tout réel , l'intégrale est convergente et
Indication : le réel étant donné, on pourra intégrer par parties.
2. (a) Montrer que, muni des opérations usuelles, est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions définies et continues sur à valeurs réelles.
(b) Vérifier que toute fonction continue et bornée sur appartient à .
(c) Montrer que toute fonction polynomiale sur appartient à .
3. On se donne .
(a) Soit un réel strictement positif; montrer que la fonction est intégrable sur .
On notera alors jusquà la fin du problème
(b) Énoncer le théorème de continuité des intégrales dépendant d'un paramètre sur un intervalle de .
(c) On fixe un réel . Montrer que l'application est continue sur l'intervalle . En déduire que est continue sur .
4. Montrer que l'application , appelée transformation de Laplace, est une application linéaire de dans l'espace constitué des applications définies et continues sur et à valeurs réelles.

Partie II : quelques propriétés des transformées de Laplace

Dans cette partie, on se donne .
  1. On considère des réels et un entier tels que pour tout réel .
    (a) Montrer que
pour tout réel .
(b) Montrer que
(c) En déduire que lorsque .
2. (a) On fixe un réel . Montrer que est de classe sur en énonçant le théorème utilisé.
(b) En déduire que est de classe sur et que
pour tout .
3. On suppose de plus que est de classe sur et que .
(a) Montrer que
pour tout .
(b) Vérifier que la fonction appartient à et montrer que
pour tout .
(c) On suppose que est de classe sur et que . Pour tout , exprimer en fonction de et .

Partie III : une application de la transformation de Laplace

Dans cette partie, on se donne un entier et on considère :
  • le problème de Cauchy
où désigne une fonction définie et de classe sur , à valeurs réelles
  • l'équation différentielle
où désigne une fonction définie et de classe sur , à valeurs réelles.
  1. Justifier que ( ) possède une solution et une seule définie sur tout , que l'on notera .
L'objectif de cette partie est d'expliciter en passant par l'intermédiaire de sa transformée de Laplace. Dans ce but, on note la restriction de à l'intervalle et on admet que et appartiennent à . On note alors .
2. À l'aide des résultats de la Partie II, montrer que est une solution de sur .
3. Pour tout entier , on note la primitive sur de la fonction qui s'annule en 0 .
(a) À l'aide d'une intégration par parties, établir pour tout entier et tout réel une relation entre et .
(b) En déduire que
pour tout entier et tout réel .
4. (a) Donner une base de l'espace des solutions de l'équation sans second membre associée à ( ) sur .
(b) En déduire que l'ensemble des solutions de ( ) sur l'intervalle est constitué des fonctions de la forme
où est un réel quelconque.
5. (a) Parmi les solutions ci-dessus, on désigne par celle correspondant à . Montrer, à l'aide des résultats de la Partie I, qu'il existe un polynôme , dont on donnera les coefficients, tel que la restriction de à vérifie .
(b) Montrer que est la solution de sur .

Partie IV : injectivité de la transformation de Laplace

Le but de cette partie est de montrer que est injective.
On se donne et on considère la fonction définie sur par
  1. Justifier que possède une limite finie lorsque .
  2. En déduire que . Indication : on pourra utiliser I 2 (b).
  3. (a) Montrer que et déduire de II 3 (a) que pour tout :
(b) Soit l'application définie sur par
(i) Vérifier que est continue sur .
(ii) Montrer après avoir énoncé le théorème de changement de variable que
pour tout .
On suppose désormais que pour tout .
4. Vérifier que pour tout entier .
5. (a) Soit . Donner le développement en série entière au voisinage de l'origine de la fonction .
(b) En déduire que pour tout entier en citant avec précision le théorème utilisé.
(c) Soit la fonction paire, périodique et de période 2 définie par pour tout .
(i) Vérifier que est continue sur .
(ii) Calculer ses coefficients de Fourier sous forme trigonométrique et en déduire, en citant le théorème utilisé, que est nulle sur .
6. (a) Montrer que est la fonction nulle.
(b) Montrer que est injective.
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