E3A Mathématiques A PC 2008

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Le problème comporte quatre parties qui peuvent être traitées de façon largement indépendante.
Notations : est un entier supérieur ou égal à 2 .
est l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à à coefficients réels.
est l'ensemble des réels strictement positifs.
est un paramètre réel.
Objectifs : Etude d'une famille d'applications linéaires et d'équations différentielles associées à ces applications linéaires .

1.1 Propriétés élémentaires de .
1.1.1) Montrer que est un endomorphisme de .
1.1.2) Ecrire la matrice de dans la base canonique de , .
1.1.3) Etude du cas particulier .
a) La matrice est-elle diagonalisable?
b) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de .
1.1.4) a) Déterminer en fonction du réel les valeurs propres de .
b) Pour quelles valeurs de l'endomorphisme admet-il des valeurs propres doubles?
c) Existe-t-il une valeur du réel a pour laquelle admet une valeur propre triple ?
1.1.5) Pour quelles valeurs de est-il diagonalisable?
1.1.6) Pour quelles valeurs du réel le degré du polynôme est-il égal au degré de , pour tout polynôme non constant de ?

On suppose dans tout ce paragraphe que n'appartient pas à .
1.2.1) Déterminer par la donnée d'une de ses bases.
1.2.2) Montrer que ( ) est une base de .
1.2.3) Discuter selon , l'ensemble des polynômes de solutions de l'équation :

2.1) Justifier rapidement que est un endomorphisme de .
2.2) Ecrire la matrice de dans la base canonique de , ( ).
2.3) Soit . Montrer que est une valeur propre de si et seulement si il existe tel que .
2.4) Montrer que si , l'endomorphisme est diagonalisable.

Dans le cas particulier où est -il diagonalisable?

Soit l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles définies dans l'intervalle ouvert ] [ et qui sont des sommes de séries entières dans cet intervalle : ainsi appartient à s'il existe une série entière telle que pour tout .
3.1) Montrer que si alors est de classe sur .

On considère alors dans toute cette partie l'endomorphisme de

où pour tout .
3.2) Soit telle que . On pose pour tout .
a) Montrer que :

b) Montrer que pour tout :

et dans le cas particulier où et , donner les valeurs de pour lesquelles la série entière est un polynôme ; on déterminera alors son degré et son coefficient dominant en fonction de .
c) Déterminer, selon , le rayon de convergence de la série entière .
3.3) En déduire l'ensemble des solutions dans de .
3.4) Comparer, selon , les dimensions des sous-espaces propres et .

On note l'espace vectoriel des fonctions de classe sur et l'endomorphisme de :

où pour tout .
4.1) On considère l'équation différentielle :

Montrer que toute solution sur est de classe sur .
4.2) Soit une solution sur de l'équation , on pose pour tout . Montrer que est une fonction de , et que est solution sur d'une équation différentielle linéaire du premier ordre. Peut-on prévoir ce résultat?
Déterminer cette équation différentielle.
4.3) Résoudre sur l'équation différentielle linéaire du premier ordre:

En déduire .
4.4) On se place dans le cas particulier .
a) Résoudre .
b) Comparez les dimensions des sous-espaces propres et .