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E3A Mathématiques A PC 2004

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesPolynômes et fractionsSéries entières (et Fourier)
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Banque
E3A
Année
2004
Filière
PC
Matière
Maths
E3A PCE3A 2004PC MathsMaths 2004
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Concours ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A PC
durée 4 heures

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Préliminaires

On considère la suite définie par :
  1. Etablir une relation de récurrence entre et , pour tout entier naturel .
  2. En déduire que:
Dans tout le problème, désigne l'intervalle .
On considère l'équation différentielle:
où désigne une fonction réelle de classe sur ; on rappelle qu'une solution de cette équation est une fonction dérivable sur telle que : .

partie I

  1. Soit ; justifier qu'il existe une et une seule solution de , définie sur , et telle que ? On énoncera avec précision le théorème utilisé.
  2. Montrer que toutes les solutions de sont de classe sur .
  3. (a) Résoudre l'équation différentielle homogène associée :
(b) Etant donné un réel , démontrer que l'unique solution de l'équation différentielle telle que peut s'exprimer de la façon suivante :
(c) Dans le cas particulier où l'équation différentielle est :
déterminer les solutions sur .

partie II

Pour , on note l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à . On rappelle que c'est un -espace vectoriel de dimension .
Dans la suite du problème, on assimilera un polynôme et sa fonction polynôme . Pour tout polynôme , on note son polynôme dérivé. On définit :
  1. Soit . Démontrer que est un polynôme dont on exprimera le degré en fonction de celui de .
  2. Démontrer que induit une application linéaire de dans .
On note cette application linéaire.
3. Démontrer que est injective.
4. Déterminer le rang de . Que peut-on en déduire pour l'espace image de ?
5. Exprimer la matrice de relativement aux bases canoniques de et .
On cherche dans cette partie pour quelles applications , l'équation différentielle ( ) admet une solution polynomiale, c'est-à-dire une solution de la forme , où désigne un polynôme à coefficients réels.
6. Soit une fonction réelle de classe sur : montrer que si l'équation différentielle ( ) admet sur une solution polynomiale , est nécessairement une fonction polynomiale que l'on exprimera en fonction de .
7. Soit un polynôme à coefficients réels et de degré non nul. On pose . On note le vecteur colonne de de coordonnées . On a ainsi ;
(a) Soit . On pose . Soit le vecteur colonne de de coordonnées . Démontrer que la fonction est solution de l'équation différentielle ( ) si et seulement si on a l'égalité .
(b) En déduire que les trois assertions ci-dessous sont équivalentes :
i. L'équation différentielle ( ) admet une solution polynomiale,
ii. , tel que ,
iii. le système linéaire admet une solution dans .
(c) On suppose dans cette question que ;
i. Ecrire précisément le système .
ii. Montrer que ce système admet une solution si et seulement si les coefficients du polynôme vérifient l'egalité : .
iii. En supposant cette condition satisfaite, résoudre ce système et en déduire l'expression de la solution polynomiale de , en fonction de et ( étant exclu).
iv. Que représente la relation pour l'image de ?
(d) On revient au cas où est un entier naturel non nul quelconque. On introduit sur une application définie par :
i. Démontrer que est une forme linéaire non nulle.
ii. Démontrer que, pour tout dans , on a : .
iii. En déduire que l'image de et le noyau de sont égaux.
iv. Expliciter une équation de l'image de (on utilisera la suite étudiée dans les préliminaires).
(e) Déterminer en fonction de une condition nécessaire et suffisante pour que l'équation ( ) admette une solution polynomiale.
(f) Retrouver le résultat de la question 7(c)ii.

partie III

On considère maintenant que est définie par une série entière de rayon de convergence :
  1. (a) Montrer que les solutions de sur sont développables en série entière, avec un rayon de convergence au moins égal à 1 . (On pourra utiliser le résultat de 13 (b).)
    (b) Soit l'une de ces solutions;
    i. Exprimer, pour en fonction de et .
    ii. En déduire, pour , une relation vérifiée par et (on utilisera la question 1. des préliminaires).
    iii. En déduire, pour sous forme de sommes dépendant de , des et des , avec .
    iv. De même, déduire de la question (i) ci-dessus, pour , une relation vérifiée par et .
    v. En déduire, pour sous forme de sommes dépendant des et et des , avec .
  2. Dans tout ce qui suit, désigne la fonction définie, pour tout , par :
(a) Justifier l'existence de pour tout .
(b) Montrer que est une solution de sur .
(c) On veut démontrer que admet pour limite lorsque tend vers 1 par valeurs inférieures.
i. Soit et soit tel que . Démontrer que :
ii. Soit la fonction définie par :
Justifier la dérivabilité de sur ] [ et déterminer sa fonction dérivée . On énoncera avec précision le théorème utilisé.
iii. Conclure.
(d) On pose maintenant, pour tout et pour tout :
i. Expliciter et .
ii. Montrer que pour tout et pour tout :
iii. Soit ; montrer que est une fonction polynomiale de degré .
iv. Montrer que pour tout , il existe un polynôme de degré tel que :
v. Quelles sont les valeurs de , pour lesquelles les fonctions admettent une limite finie lorsque tend vers 1 par valeurs inférieures ?
(e) Montrer que la série de fonctions converge simplement vers sur [.
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