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E3A Mathématiques A PC 2003

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsSéries et familles sommablesTopologie/EVN
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Banque
E3A
Année
2003
Filière
PC
Matière
Maths
E3A PCE3A 2003PC MathsMaths 2003
2025_08_29_bcd2d9a926aaaf3f0c6dg

Concours ENSAM－ESTP－ECRIN－ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A PC
durée 4 heures

L＇usage de la calculatrice est interdit

Problème

Partie I

Soit －périodique telle que pour ．
1．Représenter la courbe de sur l＇intervalle ．
2．Montrer que est continue et de classe par morceaux sur ．
3．Calculer les coefficients de Fourier de ．
4．En énonçant précisément le théorème utilisé，justifier la convergence de la série de Fourier de vers ．De quel type de convergence s＇agit－il？
5．En déduire les égalités：

Partie II

Pour tout entier naturel , on note l'application de dans telle que :
  1. Soit un entier naturel. Montrer que est intégrable sur et calculer la valeur de l'intégrale:
Soient et les applications de dans telles que :
  1. (i) Vérifier la convergence simple de la série des applications et de la série des applications sur et exprimer leurs sommes en fonction de et .
    (ii) En énonçant précisément le théorème utilisé, justifier que et sont intégrables sur et déterminer les valeurs des intégrales :
On utilisera I5.

Partie III

Pour tout entier naturel , on note l'application de dans telle que :
  1. Pour tout entier naturel , montrer que est intégrable sur .
Pour tout entier naturel , on pose:
  1. A l'aide du théorème de convergence dominée (dont on rappellera l'énoncé), montrer que la suite converge et déterminer sa limite.
  2. (i) Montrer que la série de terme général converge et exprimer sa somme à l'aide d'une intégrale.
    (ii) En déduire une expression de en fonction des intégrales et définies dans la partie II, puis vérifier que :
  1. En énonçant précisément le théorème utilisé, justifier la convergence de la série de terme général .

Partie IV

On se propose dans cette partie de déterminer un équivalent de l'intégrale lorsque tend vers . Pour tout entier naturel , on pose .
  1. Pour tout entier naturel , comparer et défini dans la partie II. En déduire que .
  2. Montrer pour tout l'égalité :
  1. En déduire pour tout l'égalité :
  1. Pour tout entier , justifier l'encadrement :
  1. En déduire un encadrement de , pour tout .
  2. En déduire la convergence et les limites respectives des suites et .
  3. Calculer et conclure.

Partie V

On considère le -espace vectoriel muni de la norme définie par :
On ne demande pas de vérifier qu'il s'agit d'une norme.
On considère l'application :
  1. Justifier que est défini, pour tout dans .
  2. Montrer que est une forme linéaire.
  3. Montrer qu'il existe une constante telle que :
  1. En déduire que est lipchitzienne de ( ) vers ( ).
  2. Justifier que l'ensemble est borné et calculer :
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