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E3A Mathématiques A MP 2014
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Suites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)Equations différentielles
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH
Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Problème
On étudie dans ce problème quelques propriétés des fonctions de Bessel, obtenues à partir de l'équation différentielle :
où
Partie I
- Déterminer les solutions sur
de l'équation différentielle : . - Pour deux réels
et , déterminer un développement limité à l'ordre 1 en 0 de la fonction . - Trouver une condition nécessaire et suffisante sur
et pour que la fonction
admette une limite finie en
Partie II
On considère dans cette partie l'équation différentielle :
dont on cherche les solutions sur l'intervalle
4. Que peut-on dire de l'ensemble des solutions sur
5. Soit
4. Que peut-on dire de l'ensemble des solutions sur
5. Soit
Démontrer que
6. Résoudre l'équation différentielle (
7. Démontrer que l'ensemble des solutions de (
8. Démontrer qu'il existe une unique solution de
6. Résoudre l'équation différentielle (
7. Démontrer que l'ensemble des solutions de (
8. Démontrer qu'il existe une unique solution de
Partie III
Dans cette partie,
- On rappelle la définition de la fonction
:
Démontrer que
10. On considère une série entière
10. a. Rappeler une définition du rayon de convergence
10. b. On suppose dans cette question que
10. On considère une série entière
10. a. Rappeler une définition du rayon de convergence
10. b. On suppose dans cette question que
- On suppose ici que la suite
satisfait les deux conditions obtenues à la question précédente. - a. Démontrer que
pour tout . - b. Déterminer le rayon de convergence
de la série entière . - c. Démontrer que, pour tout entier
. - Préciser la nature de l'ensemble des solutions sur
de l'équation différentielle . - Soit
une fonction de classe . On définit la fonction :
Démontrer que
14. En déduire que la fonction
14. En déduire que la fonction
est solution de (
15. Déterminer un équivalent de
15. Déterminer un équivalent de
Dans la suite du problème, on considère le cas particulier où
(insistons sur le fait que cette fonction
16. Pour tout entier
16. Pour tout entier
Partie IV
Dans cette partie,
- Démontrer que
est de classe sur et expliciter (sous forme intégrale) les fonctions et . - En intégrant par parties
, vérifier que est solution de l'équation différentielle ( ). - Pour tout entier naturel
, on note . - a. Démontrer que pour tout
. - b. Donner l'expression de
en fonction de . - Établir l'égalité :
puis démontrer que
21. Démontrer les égalités de fonctions
22. Démontrer que pour tout entier
21. Démontrer les égalités de fonctions
22. Démontrer que pour tout entier
- Démontrer que, pour tout entier
, les fonctions et sont égales.
Partie V
On considère dans cette partie un réel
(où Re désigne la partie réelle). On reprend par ailleurs les notations définies dans les parties précédentes.
24. Démontrer que
25. Les coefficients de Fourier trigonométriques de
26. Déterminer
27. Démontrer que
28. Démontrer que, pour tout entier
29. Démontrer que :
24. Démontrer que
25. Les coefficients de Fourier trigonométriques de
26. Déterminer
27. Démontrer que
28. Démontrer que, pour tout entier
29. Démontrer que :