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E3A Mathématiques A MP 2013

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesRéductionTopologie/EVN
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Banque
E3A
Année
2013
Filière
MP
Matière
Maths
E3A MPE3A 2013MP MathsMaths 2013
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Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A MP

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
L'objet du problème est l'étude des deux suites récurrentes doubles définies par:
où et sont deux réels strictement positifs.

Partie I : étude de la suite ( )

Soit et . On considère la suite définie pour par : .
  1. Quelles sont les limites possibles, finies ou infinies, de la suite ? (On justifiera précisément la réponse.)
  2. On pose .
    (a) Déterminer une relation de récurrence vérifiée par la suite ( ). On note l'espace vectoriel complexe des suites complexes vérifiant cette relation de récurrence.
    (b) Déterminer une base de .
    (c) , que peut-on dire quant à la convergence de ?
  3. Que peut-on en déduire concernant le comportement de la suite ( ) ? sur le comportement de la série ? de la série ?

Partie II : étude de normes matricielles

Soit . Dans la suite, on note la norme usuelle sur définie pour par :
et on identifie le -uplet au vecteur colonne . Pour , on note la norme de pour la norme subordonnée à la norme . On rappelle que celle-ci est définie de la manière suivante:
Enfin, pour et , on pose :
  1. Soit une matrice diagonale :
On pose .
(a) Soit . Montrer que : .
(b) Déterminer .
2. (a) Soit . Montrer que est une norme sur si et seulement si est une matrice inversible.
Lorsque que est inversible, on notera dorénavant pour et la norme subordonnée à la norme sur sera notée .
(b) On se donne une matrice . Pour , montrer que :
  1. Soit . Pour , on note l'ensemble des valeurs propres de et on définit par :
(a) Montrer que pour toute matrice , on a : .
(b) Soit . Montrer que .
(c) On suppose diagonalisable. Montrer qu'il existe tel que .
(d) Un exemple. Soit . Déterminer . Déterminer l'inverse d'une matrice telle que | .
(e) Un exemple. Soit définie par . Déterminer l'inverse d'une matrice telle que .
4. Dans cette question, on suppose que . Soit donc .
(a) On pose . Montrer que pour , on a: . Déterminer .
(b) On suppose la matrice non diagonalisable et on note l'endomorphisme de canoniquement associé à .
i. Démontrer que ne contient qu'un seul élément. On le note .
ii. Démontrer l'existence d'une base de telle que :
iii. Soit . Démontrer l'existence d'une base de telle que :
ù
iv. En déduire l'existence d'une matrice telle que .
(c) Déterminer .
(d) Un exemple. Soit . Calculer et montrer qu'il existe telle que .
(e) On suppose que . Justifier l'existence d'une matrice telle que . Que peut-on en déduire concernant la suite ?

Partie III : étude de la suite ( )

Soit et . On considère la suite définie pour . On considère la fonction :
On a alors: pour tout .
  1. Justifier que est de classe . Dans la suite, on note respectivement et la différentielle et la matrice jacobienne de au point .
  2. Déterminer les points fixes de dans .
  3. Déterminer la matrice .
  4. Démontrer l'existence d'une matrice telle que .
  5. On fixe un réel vérifiant .
    (a) Justifier l'existence d'un réel tel que:
Dans la suite, on note le disque fermé de centre et de rayon pour la norme et on suppose qu'il existe un entier tel que .
(b) Soit . On définit, pour :
Justifier que est de classe et obtenir une expression de faisant intervenir la différentielle de . En déduire :
(c) Démontrer que pour tout .
(d) Démontrer que pour tout , on a l'inégalité :
(e) Obtenir que .
(f) Que peut-on en déduire concernant le comportement de la suite ? sur le comportement de la série ? de la série ?

Partie IV : suite de l'étude

On considère une suite réelle . On rappelle qu'une valeur d'adhérence de est un réel pour lequel il existe une suite extraite de qui converge vers . On rappelle que toute suite bornée admet une valeur d'adhérence et on admet que toute suite bornée admet une plus petite et une plus grande valeur d'adhérence.
  1. (a) Soit ( ) une suite bornée non convergente admettant pour valeur d'adhérence. Justifier l'existence d'un réel tel que pour tout , il existe vérifiant . En déduire que ( ) admet une valeur d'adhérence .
    (b) Montrer que toute suite bornée ayant une unique valeur d'adhérence est convergente.
    (c) Soit ( ) une suite bornée. On note sa plus petite valeur d'adhérence et sa plus grande. Montrer l'équivalence :
  1. Dans cette question, ( ) désigne la suite étudiée dans la partie III. On pose .
    (a) Montrer que pour tout . On note alors et les plus petite et plus grande valeurs d'adhérences de .
    (b) Justifier l'existence d'une suite extraite de telle que et convergent et . En déduire l'inégalité .
    (c) Montrer qu'on a: .
    (d) En considérant une suite extraite de telle que et convergent et , obtenir l'égalité et conclure.
    (e) Que peut-on dire de l'hypothèse d'existence d'un entier tel que dans la question 5.(a) de la partie III?
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