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E3A Mathématiques A MP 2009

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Nombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsIntégrales généraliséesIntégrales à paramètresPolynômes et fractions
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Banque
E3A
Année
2009
Filière
MP
Matière
Maths
E3A MPE3A 2009MP MathsMaths 2009
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Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A MP

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Problème

Dans tout le problème, ln désigne le logarithme népérien.

Partie I

Soit un nombre réel dans ] - 1,1 ].
  1. Soit un entier naturel non nul. Démontrer l'égalité :
  1. En déduire l'égalité :
  1. Démontrer que la série converge vers . On citera précisément le théorème utilisé.
4 Démontrer les égalités :
5 Soit une suite décroissante de nombres réels qui converge vers 0 .
i. Justifier que la série de terme général converge.
ii. Soit la somme de la série de terme général et soit la somme partielle , pour tout entier naturel .
a) Démóntrer que la suite est croissante et que la suite est décroissante.
b) Démontrer que vérifie, pour tout entier naturel , l'encadrement :
iii. En déduire, pour tout entier naturel , l'inégalité :
  1. Soit un entier naturel. Déterminer un entier naturel tel que est une valeur approchée de à , pour tout entier naturel .
7 Soit un entier naturel. On se propose de calculer une valeur de à près en utilisant les sommes partielles .
i. Pour un entier naturel , on pose . Justifier l'inégalité :
ii. Déterminer un entier naturel tel que est une valeur approchée de à , pour tout entier naturel .
iii. Comparer (introduit dans la question 5) et .

Partic II

Soit un entier naturel . On désigne par le -espace vectoriel formé par les polynômes à coefficients dans de degré .
  1. Soit dans . Démontrer qu'il existe un unique polynôme dans , noté tel que .
  2. Soit l'application ainsi définie de dans . Démontrer que est une application linéaire. Déterminer le noyau de . L'application est-elle surjective?
  3. Ecrire la matrice de de la base de sur la base de .
  4. Soit le polynôme . Démontrer que où les nombres réels sont définis par :

Partie III

Dans la suite du problème, on désigne par l'intervalle . Soit une fonction continue par morceaux sur , à valeurs réelles positives, et intégrable sur l'intervalle .
  1. Soit la fonction définie par :
Démontrer que est intégrable sur l'intervalle .
2. Soit un entier naturel. On considère la fonction définie sur l'intervalle par :
Démontrer que la fonction est intégrable sur l'intervalle .
Dans la suite du problème, on note :
  1. Démontrer que la sćrie de terme général converge.
  2. Justifier l'égalité .
  3. Que devient précisément l'égalité dans les cas suivants :
    (i) La fonction est la fonction constante égale à 1 sur l'intervalle .
    (ii) La fonction est la fonction définie par :
(iii) La fonction est la fonction définie par :
Indication : On pourra démontrer que et déterminer des nombres réels tels que

Partie IV

  1. Soit un polynôme et soit son degré. Démontrer l'égalité :
Soit une suite de polynômes à coefficients réels qui vérifient les propriétés suivantes:
é
On pose
  1. Pour tout entier naturel , démontrer l'inégalité :

Partic V

Dans toute la suite du problème, on considère la suite de polynômes définie par récurrence par :
  1. Soit la suite définie par , pour tout entier naturel .
    (i) Etablir une relation entre et , pour tout entier naturel .
    (ii) En déduire l'existence de nombres réels et tels que pour tout entier naturel , .
    (iii) Déterminer les nombres réels et .
2 Justifier que la suite vérifie les hypothèses de la partie IV.
3 Démontrer que les coefficients du polynôme sont des entiers relatifs, pour tout entier naturel .
4 Démontrer l'égalité , pour tout entier naturel et pour tout nombre réel .
5 Soit un entier naturel. Démontrer que et en déduire l'inégalité :
6 Expliquer comment construire une suite de nombres rationnels telle qu'il existe une constante strictement positive vérifiant, pour tout entier naturel ,

Partie VI

On suppose de plus dans cette partie que est une fonction de classe sur l'intervalle . Soit la fonction définie sur par :
  1. Justifier que la fonction est de classe sur .
  2. Soit un polynôme. Démontrer l'égalité :
  1. Soit un entier naturel non nul et soit le -ième polynôme de la suite introduite dans la partie V. Démontrer l'égalité :
  1. Soit alors la suite de polynômes définie par :
Soit un entier naturel non nul.
(i) Démontrer l'égalité :
(ii) On définit et par :
Exprimer en fonction de et .
(iii) En déduire qu'il existe un nombre réel tel que, pour tout entier naturel non nul, on a:
  1. Expliquer comment construire une suite de nombres rationnels telle qu'il existe une constante strictement positive vérifiant, pour tout entier naturel ,
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