E3A Mathématiques A MP 2006

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Soit un intervalle de contenant 0 . désigne l'espace vectoriel réel des fonctions continues de dans et on note : désigne

On désigne par l'espace vectoriel réel des fonctions de classe de dans et on note :

1 - Soit dans et un réel strictement positif. Démontrer que l'équation :

admet une unique solution, notée , dérivable sur , et qui vérifie :

Démontrer :

2 - Exprimer en fonction de et et démontrer que est de classe sur .
Prouver que l'application est linéaire sur .

On suppose dans cette partie que l'intervalle est un segment avec .
1 - Démontrer qu'il existe des réels positifs et tels que :

2 - Démontrer qu'il existe un réel positif tel que :

3 - Démontrer qu'il existe un réel positif tel que :

4 - Démontrer qu'il existe un réel positif tel que :

En déduire :

5 - L'application de dans lui-même est-elle continue
a) lorsque est muni de la norme ?
b) lorsque est muni de la norme ?
c) lorsque est muni de la norme ?

Dans cette partie, désigne l'intervalle et pour tout réel est la fonction définie sur par :

1 - Déterminer .
2 - Démontrer que et sont intégrables sur .
Calculer et .
3 - Démontrer que et sont intégrables sur .
Calculer et .
4 - Démontrer que est un endomorphisme continu de et calculer :

5 - On pose . On a donc .
Démontrer :

En déduire que est un endomorphisme continu de et calculer :

Soit un réel strictement positif. On note l'espace vectoriel réel des fonctions développables en série entière sur l'intervalle .

1 - Démontrer que est un endomorphisme de .
2 - Pour élément de , on note et les suites réelles pour lesquelles :

Exprimer, pour tout entier naturel en fonction des termes de la suite .
On pourra utiliser la relation .

désigne maintenant un intervalle quelconque de contenant 0 et est l'espace vectoriel réel des fonctions de classe sur telles que et soient de carrés intégrables sur :

1 - a) Démontrer que si et sont dans alors les fonctions et sont intégrables sur .
b) Démontrer que l'application :

définit un produit scalaire sur .
c) En déduire que l'application définie par :

est une norme sur .
2 - On suppose dans cette question que est un endomorphisme continu de .
On pose :

a) Démontrer que, pour tout dans est dans est dans .

Démontrer :

b) Démontrer que est un isomorphisme de dans .
c) Démontrer que est continue de dans .
d) Démontrer que est continue de dans ( ).

Dans cette partie, désigne l'espace vectoriel réel des fonctions continues sur et -périodiques muni de la norme :

désigne l'espace vectoriel réel des fonctions de classe sur et -périodiques. est muni de la norme :

1 - Démontrer que, pour tout dans , il existe une unique solution, notée , dans de l'équation :

Exprimer en fonction de et .
Démontrer que est un isomorphisme de dans .
2 - Pour tout dans et tout entier relatif , on pose :

Exprimer en fonction de .
3 - Démontrer que, pour tout dans , la série converge et :

Pour dans , calculer en fonction des .
Comparer et pour dans . On pourra distinguer les cas et .
4 - Démontrer que est continue de dans .
Démontrer que est continue de dans .