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E3A Mathématiques A MP 2005

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresEquations différentielles
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Banque
E3A
Année
2005
Filière
MP
Matière
Maths
E3A MPE3A 2005MP MathsMaths 2005
2025_08_29_d6098eaf0c0329228af5g

Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A MP durée 4 heures

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé

Si , au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Problème

Partie I

Soit un intervalle de . On considère l'équation différentielle sur :
  1. Montrer que l'ensemble des solutions de sur est .
  2. Soit une solution de sur . Que peut-on dire des suites et ?
  3. Soit une solution de . On suppose que tend vers une limite finie lorsque tend vers . Montrer que est la fonction nulle.

Partie II

Dans cette partie, on note le -espace vectoriel des fonctions de classe sur .
On note la base canonique de :
.
Soit dans . On note l'application définie sur par:
On note l'ensemble des applications lorsque parcourt .
  1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
  2. Démontrer que l'application qui envoie le vecteur sur définit un isomorphisme entre et . En déduire que est une base de .
  3. Soit dans . Exprimer l'application . On note cette application.
    (i) Démontrer que est un endomorphisme de .
    (ii) Déterminer le noyau de . Quel est le rang de ?
    (iii) Expliciter la matrice de sur la base de , notée , déterminée à la question 2. En déduire une base de l'image de .
  4. On considère l'équation différentielle sur :
Résoudre l'équation différentielle ( ) sur .
Dans le reste du problème, on considère l'équation différentielle sur :

Partie III

Dans cette partie, on considère la fonction définie sur par :
  1. Soit un réel positif.
1a. Démontrer l'inégalité :
1b. En déduire que l'intégrale est convergente.
On peut donc définir sur une fonction en posant :
  1. En utilisant l'inégalité démontrée en , justifier que la fonction est continue sur . On énoncera avec précision le théorème utilisé.
  2. On se propose de démontrer que est dérivable sur . Soit un réel strictement positif.
3a. Justifier que est de classe sur . Déterminer la dérivée partielle au point .
3b. En utilisant l'inégalité
que l'on justifiera, démontrer les points suivants :
(i) Pour , l'intégrale est convergente.
(ii) est dérivable sur l'intervalle et on a :

3c. Conclure.

  1. En suivant les mêmes étapes que pour la question 3 , démontrer que est deux fois dérivable sur et que sa dérivée seconde vérifie :
  1. Montrer que est une solution de l'équation différentielle .
6a. Démontrer que est une application décroissante sur .
6b. En déduire que admet une limite lorsque tend vers . Déterminer cette limite.

Partie IV

Soit une fonction à valeurs réelles définie et continue sur . On suppose que vérifie les quatre conditions suivantes :
a. est positive,
b. est décroissante,
c. ,
d. L'application définie, pour tout dans , par admet une limite finie lorsque tend vers 0 par valeurs supérieures.
  1. Soit une suite strictement croissante de nombres réels positifs. On suppose que . Montrer que la série de terme général est convergente (on énoncera précisément le théorème utilisé).
  2. Montrer que admet une limite lorsque tend 0 par valeurs supérieures. En déduire, que la fonction est intégrable sur l'intervalle , pour tout réel .
  3. Soit un entier naturel non nul. On pose le réel défini par :
3a. Justifier l'encadrement : .
3b. En déduire qu'il existe dans l'intervalle tel que : . On énoncera avec précision le théorème utilisé.
3c. Montrer que :
  1. On considère les deux suites et .
4a. Montrer que la suite est croissante.
4b. Montrer que la suite est décroissante.
4c. En comparant les termes de ces deux suites, établir la convergence de chacune d'entre elles vers une limite commune.
Pour tous réels positifs et , tels que , on pose .
5. Déduire de 4. que l'application admet une limite finie lorsque tend vers . On note cette limite.
6. Soit un réel positif. Justifier l'existence de .

Partie V

  1. Soit un réel strictement positif. Montrer que la fonction définie sur par : , vérifie les hypothèses de la partie IV.
On peut donc définir une fonction sur en posant :
  1. En effectuant un changement de variables, démontrer l'égalité :
  1. En développant , démontrer que est deux fois dérivable sur et qu'on a :
  1. Quelle est la limite de lorsque tend vers ?
  2. En déduire que :
la fonction étant définie dans la partie III.
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