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E3A Mathématiques A MP 2003

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)
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Banque
E3A
Année
2003
Filière
MP
Matière
Maths
E3A MPE3A 2003MP MathsMaths 2003
2025_08_29_bc3dc91476f3ba039f32g

Concours ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A MP
durée 4 heures

L'usage de la calculatrice est autorisée

Problème

Dans tout le problème, on considère la fonction de la variable réelle définie par :

Partie I

Pour tout entier naturel non nul , on pose:
  1. Pour tout , montrer que :
  1. Soit un entier naturel strictement positif. On pose .
    (i) Etablir les égalités :
(ii) En déduire que :
(iii) Justifier que :
(a) La suite est décroissante.
(b) La suite est croissante.
3. Montrer que la suite converge vers une valeur strictement positive.
Dans la suite, on admettra que la suite converge vers la valeur . On retrouve ainsi la formule de Stirling:

Partie II

  1. Calculer le rayon de convergence de la série entière définissant .
  2. En utilisant la formule de Stirling, montrer que la série de terme général ! converge.
  3. En déduire la convergence normale de la série définissant sur .
  4. Quel est le domaine de continuité de ?

Partie III

  1. Montrer que tout entier naturel non nul vérifie l'inégalité :
(indication : On pourra montrer que .)
2. Quelle est la classe de sur l'intervalle ? Exprimer sous forme de série entière sur cet intervalle.
3. Montrer que est strictement croissante sur (indication: On pourra regrouper les termes deux par deux dans l'expression de ).

Partie IV

Pour tout entier naturel strictement positif , on définit et en posant :
  1. Montrer que les deux suites et sont adjacentes.
  2. Etablir un encadrement de à l'aide de et de , pour tout entier naturel strictement positif .
  3. Déterminer un entier naturel tel que .
  4. En déduire une valeur approchée de à près.

Partie V

Soit un entier naturel non nul. On considère la fonction définie sur par :
  1. Après avoir justifié que est une fonction de classe sur , montrer que pour tout entier compris entre 0 et , il existe un polynôme tel que :
  1. En développant , montrer que:
On considère la fonction définie sur par : .
3. Etudier et représenter la fonction .
4. Montrer l'existence d'un unique réel tel que . Montrer de plus :
  1. Montrer que :
  1. Soit . On considère la suite double définie par :
Montrer que cette double suite est sommable.
7. En déduire que : .
On admettra dans ce qui suit que cette propriété est valable sur l'intervalle .
8. Représenter graphiquement la fonction sur l'intervalle .
9. Que peut-on dire de la dérivabilité de en les points d'abcisses et ? Justifier précisément votre réponse.
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