E3A Mathématiques 3 PC 2002

Concours ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Le problème comporte trois parties indépendantes, mais on pourra utiliser dans la troisième partie des résultats obtenus dans la première, et admettre l'existence et l'unicité de la fonction étudiée dans la partie 2.

On désigne par un entier naturel non nul et par l'espace vectoriel des polynômes de degré inferieur ou égal à à coefficients réels.

Le but du problème est l'étude d'une application linéaire et d'une équation différentielle associée à cette application linéaire.

a) Montrer que est un endomorphisme de .
b) Ecrire la matrice de dans la base des monòmes ( ) de .
c) est-il diagonalisable ?
d) Comparer le degré de au degré du polynôme et en déduire que si un polynôme non nul appartient à Ker alors il est de degré 3 .
e) Montrer que si , Ker est la droite vectorielle engendrée par le polynôme .
f) Montrer que est un automorphisme de si et seulement si .

a) Ecrire la matrice de dans la base des monômes ( ) de .
b) Déterminer les valeurs propres de . Sans calculs supplémentaires, détermiuer trois sous-espaces propres de .
c) Montrer que les polynômes appartiennent à et qu'ils en forment une base.
d) Déterminer, successivement, sans résoudre l'équation différentielle correspondante, l'ensemble des polynômes tels que:

e) En déduire selon les valeurs de l'entier l'existence de polynômes tels que :

2.1 Montrer par récurrence que toute solution de (E) sur est de classe sur .
2.2 Montrer sans calcul l'existence et l'unicité d'une solution de (E) sur telle que et (on ne demande pas d'expliciter , ni de résoudre (E)).
2.3 Pour tout , on pose . En dérivant fois la relation:

montrer que pour tout , on a : .
2.4 Justifier que admet un développement limité à tout ordre au voisinage de 1. Montree que le développenent limité à l'ordre 3 de au voisinage de 1 est de la forme :

Déterminer les valeurs de .
2.5 Soit la combe représentative de dans ma repère orthonomé. Détermuer ume équation de la tangente à an point de coordomées (1.2) et la position relative de la courbe par rapport à cette traugente.

3.1 Rappeler quelles sont les solutions polynomiales de (E).
3.2 On suppose qu'il existe des solutions non polynomiales développables an série entière de rayon de convergence . Soit

une telle solution définie sur .
a) Montrer que f est solution de (E) sur ] - [ si et seulement si :

b) Montrer que pour tout .

Domner. dans le cas particulier où et , une solution de (E) développable en série entière. Soit cette solution. Préciser son rayon de convergence.
c) En déduire l'ensemble des solutions de (E) développables en série entière sur .
3.3 Montror que est solution de (E) sur si et seulement si il existe tel que :

3.4 Montrer que est solution de (E) sur si et seulement si il existe tel que :

3.5 La fonction définic an 2.2 est-elle prolongeable en une fonction de classe sur qui soit solution sur de ( E ) ?
3.6 Montrer que l'ensemble des solutions sur de (E) est un -espace vechoriel de dimension 3. Sont-elles de classe sur ?
3.7 Montror que: