Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresPolynômes et fractionsSéries entières (et Fourier)
L'épreuve est constituée de trois parties, et propose l'étude de quelques propriétés de la fonction de Bessel (utilisée notamment en physique).
Partie I
Étude de la fonction de Bessel. Développement en série entière Pour tout , on pose : .
(a) Montrer que pour tout , on a :
(b) Montrer que la fonction ainsi définie est continue, paire et de classe sur .
(c) Justifier que J est bornée sur .
(d) Justifier l'encadrement :
\begin{tabular}{c}
\end{tabular}.
En déduire un encadrement de pour .
(e) Préciser les valeurs de , . Montrer que J est strictement
décroissante sur . Pour tout , on pose : .
(a) Justifier que pour tout
(b) En déduire que pour tout
ø3 (a) Rappeler le développement en série entière de la fonction cos et son rayon de convergence. En déduire que pour tout fixé, l'application est développable en série entière sur , et préciser ce développement.
(b) En déduire que J est développable en série entière sur , avec :
(on précisera le théorème du cours utilisé pour l'intégration terme à terme).
Les deux parties suivantes sont indépendantes.
Partie II
Étude d'une équation différentielle
ø4 Vérifier que :
ø5 Montrer que l'ensemble des applications de vers , développables en série entière sur et solutions sur de l'équation différentielle , est un espace vectoriel réel de dimension 1 , engendré par .
ø6 Soit , solution sur de l'équation différentielle : .
Pour tout on pose: .
Montrer que , et est telle que pour tout , on ait : .
En déduire la forme de W.
ø7 Pour tout , on pose : cdotp
(a) Montrer que .
(b) Pour tout , on pose : .
Vérifier que le rayon de convergence de cette série entière est bien égal à . Pour tout réel , expliciter (sous forme d'une série entière simple) la valeur de l'expression et la comparer avec .
(c) Pour tout , on pose: .
Vérifier que K est solution sur de l'équation différentielle : , et expliciter la fonction W associée définie au ø6
Que peut-on en déduire?
Partie III
Usage de la transformation de Laplace
ø8 (a) Justifier que pour tout , et tout :
(b) Montrer que pour tout , on a :
(on pourra commencer par justifier l'existence de cette intégrale en utilisant par exemple le (c), puis le développement en série entière de J vu en (b) en précisant le théorème du cours utilisé pour l'intégration terme à terme).
ø9 (a) Justifier pour l'existence de .
(b) Montrer que la fonction L ainsi définie est une application continue sur vérifiant .
ø10 (a) Déterminer et justifier le développement en série entière sur ]-1,1[ de la fonction
(b) Utiliser le développement en série entière de J vu au (b) afin de montrer que, pour tout ø11 Soit y > 0 fixé.
(a) Pour tout , on pose: . Montrer que :
(b) En remarquant que , montrer que :
(c) Montrer que :
(d) Par un passage à la limite, en déduire que, pour tout , on a :
(on pourra utiliser le changement de variable défini par " ").
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