Dans tout le problème désigne un espace vectoriel de dimension finie sur le corps des nombres complexes. On note sa dimension et on suppose . On note son algèbre d'endomorphismes.
Soit . Si est une base de , on note la matrice de sur la base .
Soit . Pour tout entier naturel non nul. on note . On pose .
Soit et ; on notera l'application linéaire définie par :

Soit . On appelle commutant de u l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec ; on a :

On rappelle que

est un sous-espace vectoriel de

On dit qu'un endomorphisme est nilpotent si et seulement si il existe un entier naturel non nul tel que . Dans ce cas, le plus petit entier vérifiant est appelé indice de nilpotence de .
On note l'algèbre des matrices carrées à lignes et colonnes et à coefficients dans le corps des nombres complexes .

Partie 0. Un exemple.

Dans cette partie, on considère la matrice

telle que :

est diagonale et ses coefficients diagonaux sont les

entiers consécutifs

. Ainsi, on a:

On note

le sous-espace vectoriel formé par les matrices de

qui commutent avec

Démontrer que est l'ensemble des matrices diagonales.
En déduire la dimension de .

Dans toute la suite du problème,

désigne un endomorphisme de

Partie I. Commutant d'un endomorphisme diagonalisable.

est une valeur propre de

, on note

le sous-espace propre associé :

Dans cette partie, on suppose l'endomorphisme

diagonalisable.
Soient

ses valeurs propres. On a :

On pose

pour

.
Soit

une base de

. On rappelle que la base

est dite adaptée à la somme directe

s'il existe pour chaque entier

compris entre 1 et

, une base (

) du sous-espace

vectoriel

telle que

Montrer que si alors les sous-espaces sont stables par .
Pour tout entier compris entre 1 et , on note l'endomorphisme de induit par . Que peut-on dire de ?
En déduire que si et seulement si, sur une base adaptée à la somme directe

avec

pour

.
4. Montrer que

.
5. Montrer que si

est diagonalisable, alors

.
6. Montrer qu'il existe

diagonalisable tel que

Partie II. Commutant d'un endomorphisme nilpotent d'indice 2.

On suppose dans cette partie que

est nilpotent d'indice 2 et que

. On note

le rang de

. On pose

Montrer que . En déduire que .
Soit un supplémentaire de dans muni de la base , montrer que la famille est une base de .
En utilisant un sous-espace vectoriel de tel que , montrer qu'il existe une base de telle que :

désigne la matrice identité d'ordre

.
4. Soit

; la matrice de

dans la base

est définie par blocs en posant :

Montrer que

si et seulement si

é à

En déduire la dimension de en fonction de et de . Montrer que : .

Partie III. Commutant d'un endomorphisme vérifiant la relation (1):

Id désigne l'application identique de

. On rappelle que :

On pose

on suppose de plus

Montrer en rappelant le théorème utilisé que :

On note

le projecteur sur

parallèlement à

le projecteur sur

parallèlement à

.
2. Décomposer en éléments simples dans

la fraction rationnelle

En déduire deux polynômes

tels que :

Montrer que et .
On note ; montrer que est diagonalisable.
Soit . Calculer , en déduire que ou est nilpotent d'indice 2 .
Détermination de .
(a) Montrer que : si et seulement si et .
(b) Déterminer les restrictions de à et respectivement. En déduire qu'il existe une base de telle que

où

est la matrice de l'endomorphisme induit par (

) sur

sur une base de

.
(c) Montrer que le rang de la matrice

est égal à

.
(d) Montrer que

si et seulement si

(e) Montrer que

est diagonalisable si et seulement si

.
(f) On suppose

non diagonalisable. déterminer

en fonction de