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E3A Mathématiques 2 PSI 2018

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresRéduction
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Banque
E3A
Année
2018
Filière
PSI
Matière
Maths
E3A PSIE3A 2018PSI MathsMaths 2018
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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques 2 PSI

Durée 3 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Dans tout le problème, est l'intervalle .
On note le -espace vectoriel des fonctions continues et bornées sur à valeurs réelles et le -espace vectoriel des fonctions de classe sur à valeurs réelles.
Lorsque est un endomorphisme de , on rappelle que et que si est un entier naturel non nul,
Soit un réel strictement positif.
Pour tout de , on considère l'équation différentielle sur :
et on note l'ensemble de ses solutions sur .

Partie 1

  1. Etude de l'équation .
    1.1. Soient et .
Montrer que est solution de si et seulement s'il existe tel que :
1.2. Prouver que s'il existe une solution de ( ) qui soit bornée sur , alors celle-ci est unique.
1.3. Vérifier que l'intégrale est convergente.
1.4. Démontrer que la fonction est l'unique solution de bornée sur .
On définit ainsi une application de dans qui à toute fonction de associe la fonction ainsi obtenue.
2. Etude de quelques propriétés de .
2.1. Expliciter lorsque est la fonction constante égale à 1 .
2.2. Vérifier que est un endomorphisme de .
2.3.
2.3.a. L'endomorphisme est-il injectif?
2.3.b. Montrer que pour tout élément de .
2.3.c. L'endomorphisme est-il surjectif?
2.4. On suppose dans cette question et uniquement dans cette question que .
Montrer que le sous-espace de est stable par . En donner une base .
Ecrire la matrice de la restriction de à dans cette base.
Prouver que où est un réel positif et une matrice de rotation dont on déterminera l'angle.
3. On revient au cas général.
3.1. Pour , on note la fonction de définie par : .
Déterminer .
3.2. Soit . Le réel est-il valeur propre de l'endomorphisme ?
3.3. Etudier la convergence simple de la suite de fonctions sur .
3.4. Etudier la convergence simple de la série de fonctions sur et déterminer sa somme lorsqu'elle converge.
4. Prouver que l'on a, pour tout élément de :
  1. Pour tout entier naturel , on note la fonction de définie par : et on note .
Pour tout entier naturel , on note
5.1. Donner une base de .
5.2. Vérifier que est un sous-espace vectoriel de stable par .
5.3. Calculer le déterminant de la restriction de à .
6. Prouver que l'on a : .
7. Soit dans à valeurs positives. En est-il de même pour ?
8. Soit dans décroissante. Prouver que puis que est décroissante.
9. On note:
  • l'ensemble des éléments de de classe sur et telles que est bornée sur .
  • l'opérateur de dérivation sur .
Soit .
9.1. Montrer que l'on a : .
9.2. En déduire que et commutent dans .
10. Soit . Vérifier que, pour tout entier naturel est la fonction .
On pourra procéder par intégration par parties.

11. Soit . On suppose dans cette question et uniquement dans cette question que .

11.1. Soient et un réel supérieur ou égal à . Calculer .
11.2. Démontrer que la série de fonctions est simplement convergente sur . On notera sa somme.
On pourra utiliser sans démonstration le résultat valable pour tout entier naturel : !
11.3. Démontrer qu'il existe un réel tel que .

Partie 2

On admettra que :

si et sont deux fonctions continues sur à valeurs réelles telles que est à valeurs positives et converge
  1. Soient et dans avec à valeurs positives et . Montrer que .
  2. Soient et dans à valeurs positives telles que . Montrer que .
  3. Soit admettant une limite finie en . Montrer que admet aussi une limite finie en .
On pourra commencer par étudier le cas où
4. Pour tout réel strictement positif , on note pour toute la suite du problème, la fonction de qui à associe et .
4.1. Montrer que l'on a pour tout
4.2. En déduire que : .
5.
5.1. Montrer que pour tout .
5.2. En déduire que l'on a :

Partie 3

On reprend les fonctions définies à la question 3.1. de la partie avec maintenant .
  1. Montrer que l'intégrale converge.
  2. Pour les fonctions definies à la question 4. de la partie , l'intégrale est-elle convergente?
  3. Soit , à valeurs positives et telle que converge.
On note et .
3.1. Vérifier que l'on a pour tout .
3.2. Prouver que .
3.3. En déduire que l'intégrale est convergente.
4. Soit intégrable sur .
Montrer que est aussi intégrable sur .
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