Durée 3 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Préliminaires

Soit

un entier naturel non nul.

Soit . Déterminer, s'ils existent, module et argument du nombre complexe :
On note le polynôme de défini par :

2.1. Etude des cas

.
2.1.1. Déterminer les polynômes

.
2.1.2. Vérifier que

et que

. Sont-ils irréductibles dans

2.2. On revient au cas général.

2.2.1. Montrer que

. Donner son degré et son coefficient dominant.
2.2.2. Soit

. Donner l'espression des racines

-ièmes de l'unité.
2.2.3. Calculer

.
2.2.4. Prouver par un argument géométrique que les racines de

sont réelles.
2.2.5. Soit

Prouver l'équivalence :

2.2.6. Déterminer les racines du polynôme

. Vérifier alors le résultat obtenu à la question

.
2.2.7. En développant

, déterminer un polynôme

de degré

et à coefficients réels tel que :

On admettra l'unicité du polynôme

obtenu.
2.2.8. Expliciter

et déterminer leurs racines respectives.
2.2.9. Déterminer les racines de

en fonction de celles de

.
3. On pose

En utilisant des résultats obtenus à la question précédente, montrer que :

4. Illustrer graphiquement les inégalités suivantes que l'on admettra :

En déduire que :

Justifier la convergence de la série de terme général et calculer la somme .

Partie 1

Soit

. On note, lorsque cela a un sens,

Démontrer que pour , l'intégrale existe et donner sa valeur.
Etude de la fonction :
2.1. Montrer que l'ensemble de définition de la fonction est .
2.2. Montrer que la fonction est monotone sur .
2.3. Montrer que pour tout réel , la fonction est prolongeable en une fonction bornée sur le segment .
2.4. Démontrer que la fonction est de classe sur . Retrouver alors la monotonie de la fonction .
2.5. Soit une suite réelle de limite . Déterminer . En déduire .
2.6. Démontrer que:

2.7. Déterminer alors un équivalent simple de

lorsque

tend vers -1 par valeurs supérieures.
2.8. Soit

.
2.8.1. Justifier la convergence de la série

.
2.8.2. Prouver que pour tout entier naturel

non nul :

.
2.8.3. En déduire que

.
2.8.4. Calculer

Partie 2

Prouver que pour tout et tout entier naturel non nul :

Déterminer un équivalent de lorsque tend vers .
Pour tout entier naturel , on pose .
3.1. Etudier la convergence des séries et .
3.2. Démontrer que : .
3.3. Donner la valeur de cette intégrale en fonction de

Partie 3

Développement en série entière de la fonction

Pour tout entier naturel

, on note

Pour tout couple d'entiers naturels ( ), on pose et on admettra que cette intégrale existe.
1.1. Justifier que si
1.2. En déduire la valeur de .
2.1. Justifier l'existence pour tout de .
2.2. Exprimer à l'aide des intégrales . (On pourra utiliser la série de terme général )
2.3. Prouver enfin que:
En déduire alors que :

Préciser alors le rayon de convergence de la série entière obtenue à la question précédente.