Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Soit un réel non nul.
Déterminer une primitive sur de la fonction qui à tout réel associe le nombre complexe où i vérifie .

Pour tout réel et tout réel , on définit l'application sur par .
1.
1.1 Déterminer l'ensemble des couples tels que : existe.
1.2 Déterminer l'ensemble des couples tels que : converge.
2. Montrer que pour tout réel, les fonctions et sont intégrables sur .

On définit alors les deux fonctions et sur par : et .
3. Etudier les parités des fonctions et .
4. A l'aide d'un changement de variable que l'on justifiera soigneusement, calculer .

On pourra utiliser sans démonstration le résultat : .
5. Pour tout réel , on pose où i vérifie .
5.1 Montrer que la fonction est de classe sur .
5.2 Démontrer que la fonction est solution d'une équation différentielle ( ) linéaire du premier ordre que l'on explicitera et que l'on ne cherchera pas à résoudre ici. (On pourra utiliser une intégration par parties)
5.3 En déduire que et sont de classe sur .
5.4 Prouver que l'on a pour tout réel :
6. Pour tout réel , on note . Montrer que est intégrable sur .
7. On définit la suite réelle par: .
7.1 Prouver que pour tout entier naturel
7.2 Montrer que la suite est décroissante.
7.3 Prouver enfin que la suite converge vers une limite que l'on déterminera.
8. 8.1 Justifier que la série converge. On note sa somme.
8.2 Montrer que .
8.3 En utilisant la somme partielle d'ordre de la série , montrer que l'on a :
9. A l'aide d'un changement de variable, démontrer que pour tout .
10. Pour tout réel , on note et
10.1 Prouver que les fonctions et sont prolongeables par continuité sur .
10.2 Montrer que les fonctions et sont de classe sur .
10.3 Démontrer alors que et sont solutions sur de deux équations différentielles linéaires du premier ordre.
10.4 Résoudre ces équations différentielles sur .
10.5 En déduire une expression sur de et de à l'aide de fonctions usuelles.
11. Donner des expressions de et de pour .
12. Retrouver les résultats obtenus à la question précédente en résolvant l'équation différentielle ( ) obtenue à la question 5.2.
13. Pour tout entier naturel et tout réel , on pose et .
13.1 Soit . Déterminer et à l'aide de et .
13.2 Soit . Déterminer .