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E3A Mathématiques 2 PC 2016
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSuites et séries de fonctionsSéries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH
Épreuve de Mathématiques 2 PC
Durée 3 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Le but de ce problème est de donner, dans les parties I. et II., quatre expressions différentes du réel ln(2) sous la forme d'une somme de série puis d'étudier, dans la partie III., la vitesse de convergence de ces quatre séries.
On rappelle que pour une série
Partie I.
- Rappeler, en précisant le rayon de convergence, le développement en série entière de la fonction définie sur
par . - Montrer alors que
. - (a) Donner le rayon de convergence puis calculer la somme de la série entière
.
(b) En déduire la valeur de. - (a) Montrer que la série
est convergente.
(b) Montrer que pour toutet tout .
(c) En déduire que.
Partie II.
On considère dans la suite de ce problème, la suite
- (a) Montrer que pour tout
.
(b) Rappeler la formule de Stirling.
(c) Montrer que la série de terme généralest convergente. - On considère la suite
définie par .
(a) Montrer que pour tout.
(b) En déduire que pour tout, puis donner une relation liant et pour tout . - (a) Pour
, on note la fonction définie sur . Montrer que la série de fonctions converge simplement sur vers une fonction que l'on déterminera.
(b) Montrer queest intégrable sur et que . - On note
et .
(a) En utilisant un changement de variable, montrer queest convergente et que .
(b) En calculanttrouver la valeur de . - Donner, en le justifiant, la valeur de
.
Partie III.
Pour
- On note dans cette question
la suite définie par .
(a) Calculer. Ecrire pour tout en fonction de deux termes de la suite .
(b) En déduire que pour tout.
(c) Montrer que.
(d) Conclure que. - (a) Montrer que
(b) En déduire que pour tout
(c) Montrer que l'on a
(c) Montrer que l'on a
(d) Conclure que
3. (a) Soit
3. (a) Soit
(b) Montrer que pour tout entier
(c) Déduire des questions précédentes que
(c) Déduire des questions précédentes que
(d) Conclure que
4. Montrer que
5. Parmi les quatre séries étudiées dans ce problème, laquelle converge le plus rapidement? Laquelle converge le moins rapidement? Justifier vos réponses.
4. Montrer que
5. Parmi les quatre séries étudiées dans ce problème, laquelle converge le plus rapidement? Laquelle converge le moins rapidement? Justifier vos réponses.