E3A Mathématiques 2 PC 2002

CONCOURS ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

durée 3 heures

Soit un réel positif ou nul. On considère la suite telle que et définie par la relation de récurrence .
. Montrer qu'il existe une unique valeur de pour laquelle la suite u est constante. Déterminer cette valeur.
. On suppose que la suite converge vers une limite finie . Montrer que .
. On suppose que la suite vérifie la propriété : . Montrer que u est. une suite croissante qui tend vers .
. On suppose que la suite u vérifie la propriété

(a) Montrer que .
(b) Montrer que la suite est décroissante.
(c) Que peut-on en déduire pour la suite ?
. Exprimer en fonction de et de , pour tout entier naturel .
. Dans cette question, on considère de plus la série de terme général .
(a) Montrer que cette série est convergente.
(b) Montrer que la suite est convergente si et seulement si il existe un entier tel que .
(c) En déduire que la suite u est convergente si et seulement si , où désigne la somme de la série de terme général .

On considère la fonction définie sur à valeurs dans par :

. Montrer que la fonction est de classe sur .
. Déterminez les points dans le carré tels que et .
. Montrer que .
. Représenter graphiquement les ensembles

On considère dans le plan affine euclidien la courbe définie paramétriquement dans le repère orthonormé ( ) par :

. Etudier les variations de et .
. En déduire que la courbe est contenue dans un carré que l'on déterminera.
. Dans cette question, on étudic la courbe au voisinage du point .
(a). Montrer qu'on peut prolonger par continuité la courbe en ajoutant le point .
(b). Soit le point de coordonnées . Calculer les limites du vecteur lorsque tend vers et lorsque tend vers .
(c). Montrer que la droite passant par de vecteur directeur admet une position limite lorsque tend vers et lorsque tend vers ; en déduire que la courbe admet une tangente verticale en ce point.

Désormais, on note la courbe à laquelle on a ajouté le point .
. Etablir une équation cartésienne de .
. En déduire que est une ellipse.
. Montrer que admet une tangente verticale en un unique point autre que le point . Montrer que le milieu du segment est le centre de .
. Une question indépendante des précédentes.
(a) Montrer que la matrice est diagonalisable sur une base orthonormée directe. Expliciter ses valeurs propres et une telle base de diagonalisation.
(b) En déduire les axes de .
(c) Déterminer les sommets de .
. Représenter .