Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Partie I

Rappel des propriétés de la trace d'une matrice, notée tr.
1.1 Montrer que est une forme linéaire sur .
1.2 Prouver que: .
1.3 En déduire que deux matrices semblables ont même trace.
Dans toute la suite du problème, est une matrice de ayant valeurs propres deux à deux distinctes,
2.1 Justifer l'existence d'une matrice telle que où .
2.2 Vérifier alors que l'on a: .

Partie II

Soit

un polynôme de degré

.
On note

ses racines complexes, distinctes ou non et on a donc :

.
On note, pour tout

.
L'objectif de cette partie est de calculer les termes de la suite

à partir des coefficients du polynôme

Soit .

Démontrer que, pour tout entier naturel

, on a :

.
2. Soit

. On note

le polynôme défini par :

Montrer que

est une combinaison linéaire des

que l'on déterminera.
3. En remarquant que

, montrer que l'on a :

Déduire des questions 2 et 3 que l'on a : .
Soit . Exprimer en fonction de et des coefficients du polynôme .
Soit .
6.1 Montrer que l'on a : .
6.2 Exprimer alors à l'aide de et des coefficients du polynôme .
Conclure.

Partie III

On rappelle que

est une matrice de

ayant

valeurs propres deux à deux distinctes,

et on pose :

et pour tout élément

.
On considère alors le système linéaire (

) dont les inconnues sont

et défini par les

équations suivantes:

Démontrer que le système ( ) possède une unique solution dans .
Vérifier que et que . On pourra utiliser les relations coefficients racines d'un polynôme.
En utilisant la partie II, montrer que ( ) est solution du système ( ).
En déduire que l'on a : .

Partie IV

Justifier que .
Prouver l'équivalence : inversible .
Montrer que la matrice , si elle existe, s'écrit comme un polynôme en .
On considère la suite de matrices de et la suite de réels définies par :

4.1 Etablir que l' on a :

4.2 Montrer que l'on a aussi :

4.3

4.3a Prouver alors que:

4.3b Déterminer

.
4.3c Déterminer

. Le résultat était-il prévisible?
5. Application : On prend

Utiliser la méthode étudiée au-dessus pour déterminer le polynôme caratéristique de

et la matrice

.
On pourra utiliser que :

6. Le listing ci-dessous fournit 5 fonctions écrites en langage Python. Les matrices seront notées comme des listes de listes.

def fonction1 (A,B) :
    $\mathrm{n}=\operatorname{len}(\mathrm{A})$
    $\mathrm{C}=[]$
    for $i$ in range( $n$ ):
        $\mathrm{L}=[]$
            for $j$ in range $(n)$ :
                $\mathrm{s}=0$
                for k in range( n ):
                    $\mathrm{s}+=\mathrm{A}[\mathrm{i}][\mathrm{k}] * \mathrm{~B}[\mathrm{k}][\mathrm{j}]$
            L. append (s)
        C. append (L)
    return C
def fonction2 ( $\mathrm{x}, \mathrm{n}$ ) :
    $\mathrm{A}=[]$
    for $i$ in range ( $n$ ):
            $\mathrm{L}=[0] * \mathrm{n}$
            $\mathrm{L}[\mathrm{i}]=\mathrm{x}$
            A. append (L)
    return A
def fonction3(A):
    $\mathrm{n}=\operatorname{len}(\mathrm{A})$
    $\mathrm{S}=0$

25 for i in range ( n ):
$26 \quad$ S $+=$ A[i][i]
27 return S
28
29
fonction4 (A, x) :
$\mathrm{n}=\operatorname{len}(\mathrm{A})$
$\mathrm{B}=[]$
for $i$ in range( $n$ ):
    $\mathrm{L}=[]$
    for $j$ in range( $n$ ):
        L.append(A[i][j]*x)
    B. append (L)
return $B$
def fonction5 (A,B) :
    $\mathrm{n}=\operatorname{len}(\mathrm{A})$
    $\mathrm{C}=[]$
    for $i$ in range( $n$ ):
        $\mathrm{L}=[]$
        for $j$ in range( $n$ ):
            L.append(A[i][j]+B[i][j])
        C. append (L)
    return $C$

6.1 Déterminer les types d'arguments pris par chaque fonction et le résultat qu'elles retournent.
6.2 Compléter le programme ci-dessous permettant d'afficher les coefficients du polynôme caractéristique de la matrice A

d=[1]
A=[[1,0 , -1,1],[0,0,0,2],[ - 1,0, -1,0],[1,2,0,1]]
n=len (A)
#
# Compléter le programme
#
#
print("Les_coefficents_du_polynôme_caractéristique,_dans_l'ordre_décroissant_des_
    puissancesusontu:",d)