Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Problème

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

Les parties sont largement indépendantes, mais le candidat pourra admettre les résultats des parties intermédiaires. Les notations sont conservées d'une partie sur l'autre.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Partie I :

Soient

deux nombres réels strictement positifs, on considère les suites

définies par

Que dire des suites et , si ?
Montrer que si , on a

Démontrer que les suites et sont monotones à partir du rang 1 , puis qu'elles sont bornées.
Montrer que et convergent vers une même limite strictement positive.

On notera

la limite commune aux suites

.
On définira la fonction

sur

par

.
5. Soient

, exprimer en fonction de

les quantités suivantes :

Justifier que .

Partie II :

Pour

deux nombres réels strictement positifs, on considère les intégrales

Justifier que les intégrales et convergent, puis que .
En effectuant le changement de variable , montrer que

Montrer que

Justifier que

On énoncera précisément le théorème utilisé.
11. Conclure que

Partie III :

On fixe . En effectuant le changement de variable , montrer que

Montrer que est négligeable devant quand tend vers .
Dériver et en déduire une expression réduite pour .
Déterminer un équivalent simple de en et en déduire que

Pour , déterminer une relation simple entre et et en déduire que

Justifier que la fonction est continue sur .
Montrer que l'on peut prolonger par continuité la fonction en 0 . Que dire de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 de la fonction ainsi prolongée?
Que dire de la branche infinie de la courbe de en ?

20 . Préciser rapidement les variations de

et tracer sa courbe sur

Partic IV :

Soit , montrer que

On définit la suite par et .
(a) Montrer que la suite ( ) converge vers 1.
(b) Montrer que

définie par

Montrer que la suite (

) converge vers une limite

non nulle, puis exprimer de manière simple

Partic V :

On définit la fonction

par

Montrer que la fonction est bien définie sur .
En effectuant un changement de variable, montrer que

Montrer que si , on a

On définit la suite d'intégrales ( ) par

(a) Démontrer que

(on pourra considérer la quantité

)
(b) Démontrer que

Rappeler la valeur du rayon de convergence du développement en série entière de la fonction , puis justifier l'expression du terme général de la suite de ses coefficients .
Démontrer que

Justifier que, pour tout , on a

En déduire une série numérique permettant d'obtenir la valeur de .