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E3A Mathématiques 1 PSI 2019

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementRéduction
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Banque
E3A
Année
2019
Filière
PSI
Matière
Maths
E3A PSIE3A 2019PSI MathsMaths 2019
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Épreuve de Mathématiques 1 PSI

Durée 4 h
Si , au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Exercice 1.

Dans tout l'exercice, on identifie à l'ensemble des fonctions polynômiales.
On note l'espace vectoriel réel des fonctions continues sur , à valeurs dans , c'est-à-dire que .
Pour tout élément de , on note l'application de dans définie par :
  1. Soit -périodique. Montrer que:
  2. On suppose de plus dans cette question que est dérivable sur .
Démontrer que si est -périodique, il en est de même pour .
Montrer que la réciproque est fausse.
3. Montrer que la fonction est de classe sur et calculer sa dérivée.
4. Montrer que l'application qui à associe est un endomorphisme de .
5. Soient et sa base canonique.
5.1. Montrer que la restriction de à définit un endomorphisme de .
5.2. Ecrire la matrice de dans la base .
5.3. L'endomorphisme est-il bijectif? diagonalisable?
6. Justifier que si , élément de , est dans , alors :
(i)
(ii) est périodique de période 1.
7. A-t-on : , périodique de période 1 et telle que ?
8. Donner explicitement une fonction non nulle, élément de et en donner une représentation graphique sur l'intervalle .
9. L'endomorphisme est-il surjectif?
10. Soient un réel non nul et la fonction sur par .
10.1. Déterminer .
10.2. Dresser le tableau des variations de la fonction réelle : .
10.3. Montrer alors que tout réel strictement positif est valeur propre de l'endomorphisme .

Exercice 2.

Soit une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( ) qui suit une loi de Poisson de paramètre . On définit sur la variable aléatoire par :
  1. Déterminer la loi de la variable aléatoire .
  2. Calculer l'espérance de la variable aléatoire et l'exprimer à l'aide de fonctions usuelles.

Exercice 3.

Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On note et sa base canonique.
On rappelle que
Si , on notera dans tout l'exercice, la trace de la matrice et la matrice transposée de la matrice .
On dira qu'une matrice de est nilpotente s'il existe un entier naturel non nul tel que : . Par exemple, la matrice de est nilpotente.
On rappelle que l'application qui à tout couple de matrices ( ) de associe ( définit un produit scalaire sur .
On dira qu'un sous-espace de est stable pour une matrice de si : .
Soit un hyperplan de . On veut montrer que contient au moins une matrice inversible de .
  1. Soit une matrice n'appartenant pas à . Justifier que l'on a : .
  2. Déterminer les matrices nilpotentes de la base canonique .
  3. Déterminer les valeurs propres d'une matrice nilpotente.
  4. On note . Démontrer que est inversible.
  5. On suppose alors que ne contient pas de matrice inversible.
Soit une matrice nilpotente de .
5.1. Justifier l'existence d'une matrice et d'un scalaire tels que : .
5.2. Justifier que 0 est valeur propre de et prouver que .
6. Montrer que contient au moins une matrice inversible.
On suppose maintenant et jusqu'à la fin de l'exercice que est stable pour la multiplication des matrices, c'est-à-dire que :
  1. On prend . Exhiber un hyperplan de stable pour la multiplication des matrices.
  2. On se propose de montrer que et on raisonne par l'absurde en supposant que .
    8.1. On note la projection sur parallèlement à .
Prouver que l'on a : .
8.2. Démontrer l'implication suivante : .
8.3. Prouver alors que: .
8.4. Conclure.
On se propose maintenant de démontrer que , c'est-à-dire de démontrer qu'il n'existe pas d'hyperplan de stable pour la multiplication pour
9. Soit un élément non nul de l'orthogonal de pour le produit scalaire (.।.) .
9.1. Justifier que pour tout est colinéaire à .
9.2. Montrer que la matrice n'est pas inversible.
9.3. Soit le sous-espace vectoriel de défini par : , .
Montrer que est stable pour tous les éléments de , c'est-à-dire que pour toute matrice est stable pour .
9.4. Soient :
  • le rang de la matrice ,
  • une base de , complétée en une base de ;
  • la matrice de passage de la base canonique de à la base .
Montrer que l'application est un automorphisme de .
9.5. En déduire que l'on a : .
10. Conclure.

Exercice 4.

On considère la suite définie par : et la relation de récurrence :
  1. En utilisant sa monotonie, étudier la convergence de la suite .
  2. On pose, pour tout entier naturel .
    2.1. Prouver que l'on a:
    2.2. En déduire que l'on a, pour tous entiers naturels et :
2.3. En utilisant sa monotonie, montrer que la suite converge vers une limite que l'on ne cherchera pas à calculer.
3. On pose alors pour tout entier naturel . Démontrer que l'on a : .
4. On pose pour tout entier naturel .
4.1. Trouver une relation entre et .
4.2. Prouver que la suite est bornée.
4.3. Montrer qu'il existe un réel tel que l'on a :

FIN DE L'ÉPREUVE

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