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E3A Mathématiques 1 PSI 2018

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensProbabilités finies, discrètes et dénombrementRéductionTopologie/EVN
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E3A
Année
2018
Filière
PSI
Matière
Maths
E3A PSIE3A 2018PSI MathsMaths 2018
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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques 1 PSI

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Exercice 1.

Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On désigne par l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles.
Dans tout l'exercice, est l'espace vectoriel euclidien usuel dont le produit scalaire est noté .
Soit une base orthonormale de .
  1. Soit .
Montrer l'équivalence des trois propositions suivantes :
(1)
(2)
(3) telle que .
On dit dans ce cas que la matrice est symétrique positive et on note l'ensemble de telles matrices.
2. Soient la matrice de dont tous les termes sont égaux à 1 et un réel. On pose où est la matrice de l'endomorphisme identité de .
2.1. Déterminer les éléments propres de . En déduire ceux de .
2.2. Pour quelles valeurs de a-t-on ? Montrer qu'alors .
3. Soit et a l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est .
3.1. Justifier l'existence d'une base orthonormale de constituée de vecteurs propres de l'endomorphisme .
On notera pour tout la valeur propre associée au vecteur propre .
3.2. Soit l'endomorphisme de défini par: .
Justifier que est un endomorphisme symétrique.
3.3. Démontrer que : .
4. Soit telle que : .
est toujours l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est et l'endomorphisme de tel que défini à la question 3.2.
4.1. Pour tout , on pose .
On va montrer que la famille est libre.
Dans ce but, on considère des scalaires tels que .
4.1.1. Montrer que l'on a aussi : .
4.1.2. En utilisant le produit scalaire , conclure.
4.2. Prouver enfin que .

Exercice 2.

On rappelle que pour deux entiers naturels et désigne le nombre de parties à éléments d'un ensemble à éléments. Soient un entier naturel non nul et et deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé ( ) et prenant leurs valeurs dans .
On suppose qu'il existe tel que :
  1. Montrer de deux manières différentes que .
  2. Déterminer la valeur du réel .
  3. Donner les lois des variables aléatoires et . Ces deux variables aléatoires sont-elles indépendantes?
  4. Reconnaître la loi de la variable aléatoire . Donner alors l'espérance et la variance de .
  5. Soient et trois entiers naturels et un ensemble fini de cardinal .
En dénombrant de deux façons différentes les parties de de cardinal , montrer que l'on a:
On pourra remarquer que et s'aider d'un schéma illustrant cette situation.
6. En déduire la valeur de :
7. On note la matrice dont le coefficient de la ligne et de la colonne est : .
7.1. Déterminer le rang de la matrice .
7.2. Déterminer la valeur de , la trace de la matrice .

Exercice 3.

Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On note , le -espace vectoriel des matrices carrées à lignes et colonnes et à coefficients réels.
Dans tout l'exercice, une matrice de est dite diagonalisable si elle est diagonalisable dans .
désigne l'ensemble des matrices diagonalisables de l'ensemble des matrices symétriques de et celui des matrices antisymétriques de .
Question de cours : Donner sans démonstration les dimensions des espaces vectoriels et .
On prend dans cette partie .
  1. Exhiber un sous-espace vectoriel de dimension 3 de constitué de matrices diagonalisables.
  2. En déduire la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de contenu dans .
  3. est-il un sous-espace vectoriel de ? Justifier.
On pourra utiliser des arguments de dimension.
4. Déterminer alors tous les sous-espaces vectoriels de contenant .
5. Soient et .
5.1. Montrer que est un ouvert de et un fermé de .
5.2. Prouver que l'on a:
5.3. est-il un fermé de ? un ouvert de ? Justifier.

Partie 2

On revient au cas général avec .
  1. Soient et définies par:
  • et sinon
  • et sinon
    1.1. Vérifier que et sont diagonalisables.
    1.2. est-il un sous-espace vectoriel de ? Justifier.
  1. Soit , antisymétrique.
Démontrer que l'ensemble des valeurs propres réelles de est inclus dans .
(On pourra calculer le produit matriciel pour un vecteur de ).
3. Soit un sous-espace vectoriel de contenu dans . Déterminer .
En déduire la dimension maximale d'un tel sous-espace vectoriel . On donnera un exemple d'un sous-espace réalisant cette condition.
4. Soit une matrice .
On note l'application linéaire qui à une matrice de associe la matrice .
4.1. Vérifier que est un automorphisme de et expliciter .
En déduire la dimension de .
4.2. Prouver que l'on a:
4.3. Démontrer enfin que :
5. On note la base canonique de où est la matrice de dont tous les coefficients sont nuls excepté celui de la ligne et colonne qui vaut 1.
5.1. Donner sans démonstration une base de .
5.2. Pour tout couple de , on pose .
Soit la matrice diagonale dont les termes diagonaux sont où le 2 est à la -ième position.
Décomposer la matrice dans la base canonique de . On pourra utiliser l'endomorphisme de canoniquement associé à .
Justifier alors que la matrice est diagonalisable.
5.3. Soit . Prouver que .
En déduire une base de constituée de matrices toutes diagonalisables.
5.4. Déterminer enfin tous les sous-espaces vectoriels de contenant .

Exercice 4.

  1. Proposer une fonction python maxi prenant en argument une liste d'entiers naturels et renvoyant le maximum des entiers de cette liste.
On n'utilisera pas de fonction spécifique de python déterminant ce maximum.
2. Ecrire une fonction ind prenant en argument une liste d'entiers naturels et renvoyant la liste des indices [i_1,..., i_r] avec i_1<...<i_r telle que pour tout soit non nul.
Par exemple, si , alors ind ( ) renvoie .
3. Ecrire une fonction nb_oc prenant comme argument une liste d'entiers naturels et renvoyant la liste de longueur
où, pour tout est le nombre d'occurences dans la liste L de l'entier .
Par exemple, si , alors
On pourra utiliser la fonction maxi.
4.
4.1. Soit L une liste d'entiers naturels. Déterminer le nombre de fois, noté n , où la liste L est parcourue lors de l'exécution de nb_oc (L).
4.2. On veut que soit indépendant de .
Si ce n'est pas le cas, modifier la fonction nb_oc afin de respecter cette condition.
5. Soit une liste d'entiers. On définit alors la suite de Robinson associée à la liste par récurrence comme suit .
  • Si est construite, alors :
  • on détermine oc .
  • on détermine .
  • si , alors
Par exemple, si :
  • (il y a deux « 4 », un « 2 » et un « 1 » dans la liste )
  • (il y a un « 4 » , deux « 2 » et trois « 1 » dans la liste )
    5.1. On donne . Déterminer et .
    5.2. On donne . Si l'on suppose que , donner toutes les solutions possibles pour .
    5.3. On donne . Si l'on suppose que , donner toutes les solutions possibles pour .
    5.4. Proposer alors une fonction qui prend en argument une liste et un entier naturel et qui renvoie l'élément de la suite de Robinson associée à A .
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