E3A Mathématiques 1 PSI 2017

E3A PSI 12017

EXERCICE 1

1. Montrer que l'application : est un isomorphisme de dans .
2. On note la base canonique de et pour tout , on note ( ), c'est-àdire l'unique polynôme dont l'image par est . Montrer que est une base de puis déterminer les composantes d'un polynôme quelconque de dans cette base.
   Dans la suite de l'exercice, on note la matrice de passage de la base à la base
3. Dans cette question uniquement, on suppose que et .
   (a) Donner, sans justification, les polynômes et expliciter la matrice .
   (b) Montrer que 1 est valeur propre de la matrice et déterminer le sous-espace propre associé.
   (c) En déduire tous les polynômes de vérifiant : .
4. On revient au cas général.
   (a) Montrer que est inversible. Calculer son inverse. (On pourra utiliser la question 2)
   (b) Etablir la relation : .
   (c) Montrer que l'on a : . Montrer ensuite que pour tout .
   (d) Lorsque , déterminer la somme des coefficients de chaque colonne de .
5. Dans cette question, on suppose que et soit l'endomorphisme de défini par :

EXERCICE 2

Questions de cours

1. Prouver que pour tous réels et .
2. Montrer que le produit de deux éléments de est une application intégrable sur .
3. Soit l'application qui au couple associe le réel : .

Partie 1

1. Pour tout , on pose .

Partie 2

1. Montrer que les intégrales et convergent.
2. Etablir l'égalité : .

4. Déterminer toutes les applications pour lesquelles il y a égalité dans l'inégalité (*).

EXERCICE 3

1. Montrer que l'existence de l'espérance des variables aléatoires entraine l'existence de l'espérance de .
   On pourra constater que constitue un système complet d'événements.
2. Calculer alors en fonction de et .
3. On suppose que et que possède une espérance.

EXERCICE 4

PARTIE A. Recherche de zéro d'une fonction

1. Soient et deux réels, une fonction continue telle que .
   (a) Justifier que s'annule sur .
   (b) Écrire une fonction Python rech_dicho prenant en arguments une fonction , deux flottants a et b tels que et une précision eps et qui renvoie un couple de réels encadrant un zéro de f à une précision eps près.
2. Soit une fonction continue de dans .
   (a) Montrer que admet un point fixe (c'est-à-dire un réel de tel que ).
   (b) Écrire une fonction Python rech_pt_fixe qui prend en argument une fonction que l'on suppose continue de dans , un précision eps et qui renvoie un couple de réels encadrant un point fixe de à une précision eps près. On pourra utiliser la fonction rech_dicho.

PARTIE B. Recherche dans une liste

1. On propose l'algorithme suivant

1def rech_dicho(L,g,d,x):
2 """L est une liste telle que
            L[g:d+1] est triee"""
3 if x>L[d] :
        return d+1
    else :
        a=g
        b = d
        while a != b :
            c = (a+b)//2
            if x <= L[c] :
                b = c
            else:
                a = c+1
    return a

rech_dicho(L, )
On donnera les valeurs prises par les variables et à chaque passage ligne 9 .
(b) Détailler clairement ce que fait le programme rech_dicho.
(c) Déterminer, en le justifiant, la complexité du programme, mesurée en nombre de comparaisons. On utilisera, si besoin est, la notation , et on pourra exprimer cette complexité en fonction d'un ou plusieurs paramètres parmi len (L), g, d, x.

2. Proposer un algorithme tri_dicho de tri par insertion utilisant la fonction rech_dicho pour trouver la position à laquelle insérer l'élément.
3. Estimer le nombre d'affectations de tri_dicho ainsi que le nombre de comparaisons effectuées par l'algorithme tri_dicho. Comparer avec le tri par insertion classique.