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E3A Mathématiques 1 PSI 2016

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementRéductionSéries et familles sommablesAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensInformatique
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E3A
Année
2016
Filière
PSI
Matière
Maths
E3A PSIE3A 2016PSI MathsMaths 2016
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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques 1 PSI

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Exercice 1.

Soit une suite de réels.
Pour tout , on pose :
  1. On prend dans cette question, pour tout .
    1.1 Vérifier que la série converge et calculer sa somme.
    1.2 Déterminer le rayon de convergence de la série entière
    1.3 Montrer que la série converge et calculer sa somme.
  2. On prend dans cette question, et .
    2.1 Etudier la monotonie et la convergence de la suite .
    2.2 Quelle est la nature de la série ?
    2.3 Calculer .
    2.4 Quelle est la nature de la série ?
  3. On suppose dans cette question que la série converge et que la suite est une suite décroissante de réels positifs.
    3.1 Pour tout entier naturel non nul, on note . Montrer que: .
    3.2 En déduire .
    3.3 Démontrer alors que .
    3.4 Montrer que la série converge.
    3.5 A-t-on ?
  4. On suppose dans cette question que la série converge et que la suite est positive, décroissante et de limite nulle.
    4.1 Vérifier que: .
    4.2 En déduire que la série converge.
    4.3 Peut-on en déduire que ?

Exercice 2.

Pour tout entier naturel , on note .
Soient et le sous-espace vectoriel de défini par : .
  1. Montrer que est une base de . En déduire la dimension de .
  2. Pour tout élément de , on note .
    2.1 Démontrer que
    2.2 Ecrire la matrice de dans la base est-il un automorphisme de ?
    2.3 Déterminer les éléments propres de . L'endomorphisme est-il diagonalisable?
  3. Soient et .
Montrer que la série de terme général est convergente.
4.
4.1 Pour tout entier naturel , on considère une suite telle que la série converge .
Citer le théorème du cours qui justifie que l'on a pour tout .
4.2 Soit .
Démontrer que la série de terme général est convergente pour tout .
On note alors .
4.3 Justifier que la série de terme général pour tout fixé de est convergente.
On note alors .
4.4 Exprimer en fonction des pour tout .
4.5 En déduire que et que l'application ainsi définie est un endomorphisme de .
5. Ecrire la matrice de dans la base en fonction des .
L'endomorphisme est-il diagonalisable?

Exercice 3.

1. Programmes mystères

1.1 On donne les programmes python P0 et P1 suivants. Que renvoient les appels P0(5), P1(5) et P0(9), P1(9)?
Dire en une phrase ce que fait chacun des programmes P0 et P1?
P0
def PO(N) : # N entier naturel
    if N == 1 :
        return False
    if N == 2 :
        return True
    for d in range(2,N) :
        if N % d == 0 :
            return False
        return True
P1
def P1(N) : # N entier naturel
    if N == 1 :
        return False
    if N == 2 :
        return True
    for d in range(2,N) :
        if N % d == 0 :
            return False
    return True
1.2 En une phrase dire ce que fait le programme python, P2, qui utilise le programme P1 précédent :
def P2(N) : # N entier naturel
    L = []
    k = 0
    n = k * k + 1
    while n <= N :
        if P1(n) :
            L.append(n)
        k = k + 1
        n = k * k + 1
    return L
Que renvoie l'appel P2(127)?
1.3 Écrire une fonction nextPrime en langage python qui prend un argument entier et qui retourne comme valeur le premier nombre premier qui est strictement supérieur à .

1.4 Nombres jumeaux

On appelle couple de nombre premiers jumeaux toute liste telle que sont deux nombres premiers vérifiant et . Par exemple [3,5], ou[11,13] sont des couples de nombres premiers jumeaux alors que [2,3] ne l'est pas.
1.4a Écrire à l'aide de la fonction nextPrime précédente, une fonction python nommée jumeau, prenant comme argument un entier et renvoyant le couple de nombres premiers jumeaux tel que strictement supérieur à et le plus petit possible.
Par exemple, >>> jumeau(5), renvoie comme valeur : [11, 13]
1.4b Écrire avec les mêmes consignes une fonction, lesJumeaux, prenant en argument un entier et renvoyant la liste de tous les couples de nombres premiers jumeaux tels que soit inférieur ou égal à .
Par exemple, >>> lesJumeaux (18), retourne : [ [3, 5], [5, 7], [11, 13]] (le couple [17, 19] n'en fait donc pas partie.)

2. Fonction récursive

On considère la fonction définie comme suit en python :
def M(n) :
    if n > 100 :
        return n - 10
    else :
        return M (M (n + 11))
2.1 Que fait l'appel M(101) ?
2.2 Plus généralement, que fait l'appel si ?
2.3 Que renvoient l'appel M(100) ? Puis M(99), M(98) ?
2.4 Conjecturer ce que renvoie l'appel où , entier naturel, puis le démontrer.

Exercice 4.

Dans tout l'exercice est un entier naturel non nul.

Préliminaires

  1. Soit un endomorphisme d'un espace vectoriel .
Le sous-espace est-il stable par l'endomorphisme ? Justifiez votre réponse.
2. Soit l'endomorphisme de défini dans la base canonique de par :
2.1 Déterminer . A-t-on ?
2.2 L'endomorphisme est-il diagonalisable?
2.3 Ecrire dans une base de la matrice de l'endomorphisme induit par sur .
3. Soit et une valeur propre de .
Que peut-on dire de la dimension du sous-espace vectoriel où désigne la matrice identité de ?
4. On suppose que possède valeurs propres distinctes. Donner, en le justifiant, l'ordre de multiplicité de chacune de ces valeurs propres dans le polynôme caratéristique.

Dans tout l'exercice:

  • on identifie le vecteur de et la matrice colonne de ses composantes dans la base canonique de .
  • on munit l'espace du produit scalaire usuel : où désigne la transposée de la matrice .
  • est une matrice de possédant valeurs propres réelles distinctes, .
Pour tout , on choisit un vecteur non nul de
  1. Montrer que la matrice , transposée de , est diagonalisable dans et admet les mêmes valeurs propres que .
On choisit alors, pour tout , un vecteur non nul de .
2. Prouver que : .
3. Démontrer que : .
Pour tout , on note .
4. Exemple : Soit .
Vérifier que posssède deux valeurs propres et , distinctes et telles que .
Déterminer les matrices et .
5. On revient au cas général.
Soit . Déterminer le rang de . Calculer . La matrice est-elle diagonalisable dans ?
6. Déterminer et .
7. Soit . Déterminer .

Exercice 5

  1. Soient et la fonction qui à tout réel associe .
    1.1 Donner une représentation graphique de .
    1.2 Calculer .
    1.3 Donner une représentation graphique de .
Dans toute la suite de l'exercice, on considère une variable aléatoire , définie sur un espace probabilisé ( ) et on admet que l'on définit une variable aléatoire , définie sur le même espace probabilisé par :
  1. Dans cette question, suit une loi géométrique. Déterminer pour tout .
  2. Dans cette question, suit une loi binomiale où et .
    3.1 Donner où , l'espérance et la variance de .
    3.2 Déterminer et donner la loi de probabilité de .
  3. On suppose dans cette question que l'on a: et que:
4.1 Déterminer la valeur de .
4.2 Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire puis calculer son espérance mathématique .
4.3 On note la variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé par .
Justifier que .
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire .
4.4 Calculer le coefficient de corrélation des deux variables aléatoires et .
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