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E3A Mathématiques 1 PC 2019

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Algèbre linéaireGéométriePolynômes et fractionsRéductionSéries et familles sommables
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Banque
E3A
Année
2019
Filière
PC
Matière
Maths
E3A PCE3A 2019PC MathsMaths 2019
2025_08_29_b33816fed5f79f88f950g

Épreuve de Mathématiques 1 PC

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Exercice 1.

  1. Question de cours: Rappeler sans démonstration pour quelles valeurs du réel la série est convergente.
  2. Soit .
    2.1. On pose pour tout
Vérifier que la suite est croissante et divergente.
2.2. Montrer qu'il existe au moins un entier naturel tel que l'on ait : . On note alors où est le plus petit entier vérifiant cette propriété et on pose : . On a donc : .
3. La suite est-elle convergente?
4. Prouver pour que l'on a:
  1. Montrer que si la suite ( ) converge vers une limite , alors .
  2. Prouver que l'on a, pour tout entier naturel non nul .
  3. Démontrer que l'on a, pour tout entier naturel non nul .
  4. En déduire que la suite ( ) converge et déterminer sa limite.

Exercice 2.

Soint muni de sa base canonique et un réel.
On considère l'application définie sur par :
  1. Déterminer toutes les valeurs du réel pour lesquelles est un endomorphisme de .
Désormais est choisi de sorte que est un endomorphisme de .
2. Soit .
Déterminer et dans de sorte que le polynôme vérifie .
3. Déterminer alors les éléments propres de l'endomorphisme .
On donnera pour chaque sous-espace propre une famille de polynômes constituant une base de ce sous-espace.
4. Déterminer une matrice dont le spectre est et dont les coefficients diagonaux sont tous égaux.
5. Expliquer comment construire à l'aide de , un endomorphisme de admettant comme valeurs propres.

Exercice 3.

Soit l'espace vectoriel des suites réelles telles que : .
  1. Soit l'application qui à tout élément de associe le triplet ( ) de .
    1.1. Prouver que est une bijection de vers .
    1.2. En déduire la dimension de l'espace .
  2. On note alors pour tout où désigne la base canonique de .
    2.1. Justifier que est une base de .
    2.2. Déterminer explicitement les suites .
  3. Pour tout couple d'éléments de , on pose : .
Démontrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur . On notera sa norme associée.
4. Vérifier que la base est une base orthonormale de .
5. On définit l'application sur par :
5.1. Vérifier que est un endomorphisme de .
5.2. Ecrire la matrice de l'endomorphisme dans la base de .
5.3. L'endomorphisme est-il diagonalisable?
5.4. Déterminer l'ensemble des vecteurs de invariants par .
5.5. Prouver que est une isométrie de . Déterminer .
5.6. Soit l'orthogonal de dans . Montrer que est un sous-espace vectoriel de stable par .
5.7. Reconnaître la nature géométrique de la restriction de à et préciser ses éléments caractéristiques.

Exercice 4.

  1. Question de cours 1 : Rappeler sans démonstration le développement en série entière de pour et donner son rayon de convergence.
  2. Question de cours 2 : Soit . Prouver que si deux matrices carrées et de taille sont semblables, alors les matrices et sont semblables.
Pour toute matrice , on pose, lorsque cela est possible, .
3. Pour tout , on pose et où vérifie .
3.1. Vérifier que pour tout , on a : .
3.2 Déterminer une formule analogue pour .
4. Si avec , déterminer .
5. On suppose que possède deux valeurs propres distinctes et .
5.1. Justifier l'existence d'une matrice telle que : .
5.2. Déterminer puis à l'aide de la matrice .
6. On suppose que les valeurs propres de sont égales : .
6.1. Justifier l'existence d'une matrice et d'un nombre complexe tels que : .
6.2. Calculer pour tout .
6.3. En déduire à l'aide de la matrice .
7. Justifier l'existence de pour toute matrice de .
8. Existe-t-il une matrice de telle que l'on ait : ?

FIN DE L'ÉPREUVE

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