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E3A Mathématiques 1 PC 2018

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensIntégrales généraliséesIntégrales à paramètresProbabilités finies, discrètes et dénombrementRéduction
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Banque
E3A
Année
2018
Filière
PC
Matière
Maths
E3A PCE3A 2018PC MathsMaths 2018
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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques 1 PC

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Exercices

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Exercice 1

Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On désigne la matrice identité de taille ( ) .
Soit le -espace vectoriel de dimension muni du produit scalaire canonique :
Pour tous et dans , on a :
On note le vecteur de dont toutes les composantes sont égales à 1 et le sous-espace vectoriel formé par l'ensemble des vecteurs orthogonaux à .
  1. Démontrer que est l'ensemble des vecteurs tels que .
  2. Quelle est la dimension de ?
On considère la matrice de taille définie par :
Cette matrice a des 0 comme coefficients diagonaux et des 1 partout ailleurs.
3. Enoncer précisément le théorème spectral. Que peut-on en conclure pour la matrice ?
4. Soit tel que est dans . Calculer en fonction de .
5. Déterminer les valeurs propres de et, pour chacune de ses valeurs propres, le sousespace propre associé.
6. Calculer le déterminant de la matrice .
On considère la matrice de taille définie par blocs par :
  1. La matrice est-elle diagonalisable ? Justifier votre réponse.
  2. Soit une valeur propre de la matrice . Démontrer que est une valeur propre de ( ) ou ( ).
  3. En déduire que les valeurs propres de sont dans l'ensemble .
  4. Déterminer l'ensemble des valeurs propres de .
Soit une matrice de taille . On lui associe , la matrice de taille définie par
  1. On suppose diagonalisable. On note les valeurs propres distinctes de . Déterminer les valeurs propres de en fonction de .
  2. La matrice est-elle diagonalisable ?

Exercice 2

On admet l'égalité .
On définit pour tout entier naturel non nul . On introduit les séries entières:
On note l'intervalle (ouvert) de convergence de la série .
  1. Soit un entier naturel non nul. Justifier .
  2. Démontrer que la suite diverge vers .
  3. Déterminer le rayon de convergence de la série . En déduire .
  4. Déterminer les rayons de convergence des séries et .
  5. Quel est le développement en série entière de la fonction ? Préciser son rayon de convergence.
  6. Justifier que la fonction est développable en série entière sur l'intervalle ] - 1,1 [. Etablir une relation entre et .
Soit la primitive de sur l'intervalle telle que .
7. Exprimer à l'aide de la fonction .
8. Justifier que est développable en série entière et expliciter son développement en série entière. On énoncera précisément le théorème utilisé.
9. En déduire une relation entre et .
10. Soit dans
(a) Justifier que est une intégrale convergente et démontrer l'égalité :
On pourra utiliser le développement en série entière de la fonction .
(b) Justifier que est une intégrale convergente et démontrer l'égalité :
(c) Justifier que
  1. Exprimer la valeur de en fonction de . Justifier votre réponse.

Exercice 3

On désigne par l'ensemble des entiers naturels non nuls. Pour tous dans , on note
On pourra utiliser le fait que : .
  1. Soit dans . Justifier que la suite converge vers .
Si est une variable aléatoire à valeurs dans une partie finie de , on note son espérance et sa variance. Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
2. Soit une variable aléatoire à valeurs dans , Démontrer que
On dispose d'une boîte dans laquelle sont placés des jetons indiscernables au toucher numérotés de 1 à . Soit un entier naturel . On tire fois de suite un jeton dans cette boite. On note son numéro et on le remet dans la boîte. Les tirages sont indépendants les uns des autres. On note la variable aléatoire qui prend comme valeur le numéro du jeton du -ème tirage, pour dans . On suppose que la loi de est uniforme sur . On note et les variables aléatoires :
  1. Exprimer et en fonction de .
  2. On se propose de simuler en Python les variables pour .
    (a) Ecrire une fonction simulX qui renvoie une liste de longueur 100 de réalisations des variables . On pourra utiliser la fonction : random.randint L'instruction random.randint fournit un nombre entier aléatoire dans uniformément.
    (b) En déduire une fonction REALIV qui renvoie une liste de longueur 100 de réalisations des variables .
  3. Soit dans supérieur à 2 .
    (a) Soit . Justifier que :
(b) On appelle plusieurs fois la fonction REALIV de la question 4b. On constate qu'à chaque fois, le résultat obtenu est une liste qui se termine par un grand nombre de 10. Justifier mathématiquement ce résultat.
(c) Exprimer en fonction de à l'aide de la fonction introduite au début de l'exercice. Donner un équivalent de lorsque tend vers .
6. (a) On introduit les variables , pour dans . Justifier que les variables sont indépendantes et de même loi. Préciser cette loi.
(b) En déduire et en fonction de et .
7. On considère le couple de variables aléatoires ( ).
(a) Exprimer et en fonction de et .
(b) En déduire et en fonction de .
On peut déduire par un calcul la covariance de et , notée . On admet sa valeur :
(c) Exprimer et en fonction de .
(d) On note le coefficient de corrélation de et . Exprimer en fonction de .
(e) Que peut on dire de la suite lorsque tend vers ?
8. (a) Si est une variable aléatoire à valeurs dans une partie finie de , démontrer que .
(b) Exprimer en fonction de à l'aide des fonctions et introduites au début de l'exercice.
(c) Exprimer en fonction de à l'aide des fonctions et introduites au début de l'exercice.
(d) Donner un équivalent de lorsque tend vers .
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