On considère la suite de fonctions . définies sur par :

ø1 (a) Montrer que pour tout :

(b) Prouver que pour tous , : . En déduire que la suite est croissante et convergente. Préciser sa limite.
Soit a .
(a) Montrer qu'il existe tel que :
.
(b) En déduire la convergence uniforme de la suite sur [ ] pour tout a .
On pose .
(a) Montrer que, pour tout .
(b) Étudier la convergence de la série de terme général .

On désigne par l'espace vectoriel des fonctions définies sur , de classe sur .

On appelle l'ensemble des fonctions vérifiant les deux propriétés suivantes :

On note l'application définie sur par :
.
ø1 Montrer que est un espace vectoriel sur .
ø2 (a) Montrer que est un endomorphisme de .
(b) Prouver que est injective.
ø3 On définit sur l'application g par :

(a) Calculer . Montrer que, pour tout , il existe deux fonctions polynomiales et telles que :

En déduire que g' .
(b) Déterminer l'ensemble des fonctions f de vérifiant :
.
En déduire que n'est pas surjective.
ø4 Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de .

On considère la fonction f définie dans par :
si et .
ø1 (a) Étudier la continuité de f.
(b) Étudier l'existence des dérivées partielles de f au point .
(c) Déterminer et tracer la ligne de niveau 1 de f.
ø2 On définit la fonction sur par :
pour et .
(a) Dresser avec précision le tableau de variations de la fonction .
(b) En déduire que la fonction n'admet pas d'extremum en
(justifier soigneusement la réponse).
ø3 Déterminer les points critiques de la fonction .
(a) Vérifier que, pour tout .

En déduire que f admet un minimum en ( ).
(b) La fonction f admet-elle un extremum en ( ) ?
ø5 Montrer que, pour tout , les deux expressions :

sont du signe de .

Que peut-on en conclure?