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E3A Mathématiques 1 MP 2018

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesProbabilités finies, discrètes et dénombrementSéries et familles sommables
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E3A
Année
2018
Filière
MP
Matière
Maths
E3A MPE3A 2018MP MathsMaths 2018
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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques 1 MP

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Exercices

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Exercice 1

Pour tout entier naturel clans , on note
On considère les suites et définies par :
  1. Rappeler le domaine de définition de la fonction . Préciser son développement de Taylor à l'ordre 2 en 0 .
  2. Soit un entier naturel non nul. Quel est le signe de ?
  3. Justifier que la série est convergente.
  4. Etudier la fonction sur .
  5. Justifier que la série est convergente.
  6. Soit un entier naturel non nul. Exprimer en fonction de .
En déduire une expression de en fonction de pour tout entier naturel supérieur ou égal à 3 .
7. Que peut-on dire des suites et ? Justifier que .
Dans la suite de l'exercice, on note la somme des séries et .
8. Démontrer que est dans l'intervalle .
9. Soit un entier naturel non nul. Justifier que:
  1. Justifier que la suite est décroissante.
  2. Démontrer que la suite est convergente et de limite .
Indication : Exprimer les sommes partielles de la série en fonction des termes de la suite .
12. Soit un entier naturel .
(a) Dessiner le graphe de la fonction sur .
(b) Soit un nombre réel . Exprimer en fonction de et :
(c) Soit une suite de nombres réels qui converge vers 0 et telle que la suite est convergente vers une limite telle que .
i. Soient dans tels que . Justifier l'existence d'un entier naturel supérieur ou égal à 2 tel que pour tout entier naturel , on ait les inégalités :
ii. Démontrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à :
iii. En déduire l'encadrement :
où a été défini dans la question 12(b).
iv. Démontrer que la suite est convergente et expliciter en fonction de et sa limite.
v. Ce résultat reste-t-il vrai si la limite de la suite est 0 ?
13. Démontrer qu'il existe un nombre réel qu'on explicitera tel que :
Indication: On appliquera les résultats de la question 12 à une suite bien choisie.

Exercice 2

Soit un entier naturel strictement supérieur à 1 . On note l'espace vectoriel euclidien muni du produit scalaire canonique :
On note la norme associée et la base canonique de .
  1. Soit une matrice dans . On note ses vecteurs colonnes.
    (a) Exprimer en fonction des vecteurs les coefficients de la matrice .
    (b) Dans le cas particulier où les vecteurs sont orthogonaux deux à deux, démontrer que
  1. Déterminer les matrices dans qui sont diagonales et orthogonales.
On note l'ensemble des matrices dans telles que :
  • Tous les coefficients de sont dans .
  • Les vecteurs colonnes de la matrice sont orthogonaux 2 à 2 .
Par exemple, on pourra constater que :
  1. Ecrire une fonction en Python qui lorsqu'elle prend en entrée la liste des colonnes d'une matrice , de taille , renvoie 1 si la matrice est dans et 0 sinon.
  2. Soit .
    (a) Quelle est la norme d'un vecteur colonne de ?
    (b) Que vaut ?
  3. Soit . On suppose que le premier vecteur colonne de est le vecteur
Soit, pour dans , le -ème vecteur colonne de . Démontrer que le nombre de égaux à 1 est égal au nombre de égaux à -1 .
6. On suppose que est non vide. Démontrer que contient une matrice dont la première colonne est le vecteur .
7. Lorsque est non vide, que peut-on en dire de la parité de ?
8. On suppose et non vide. Soit une matrice dans dont la première colonne est le vecteur .
(a) Démontrer que det est un entier relatif multiple de .
(b) Démontrer que est un entier naturel multiple de 4 .

Exercice 3

Soient et des entiers naturels tels que . On rappelle que désigne l'ensemble des entiers naturels tels que .
Si est un ensemble fini, on note son cardinal.
Si est une variable aléatoire à valeurs dans une partie finie de , on note son espérance.
Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2 et soit un entier naturel non nul. Soient des variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur l'ensemble .
On note le nombre de valeurs distinctes prises par les variables Si sont les valeurs prises respectivement par les variables , alors prend la valeur où , pour tout dans .
Si est une partie de , on note » la réunion des événements « », pour tout dans tels que .
  1. On suppose dans cette question seulement et .
    (a) Justifier que ne prend que les valeurs 1 et 2 .
    (b) Calculer et .
    (c) Calculer .
  2. On se propose de simuler en Python la variable aléatoire pour dans le cas où .
    (a) Ecrire une fonction simulU qui renvoie une réalisation de .
On pourra utiliser la fonction : random.randint
L'instruction random.randint fournit un nombre entier aléatoire dans uniformément.
(b) Ecrire une fonction espu qui renvoie une approximation de l'espérance de . Quel théorème utilisez-vous pour justifier que le résultat de cette fonction est une approximation de l'espérance de ? Enoncez précisément ce théorème.
3. Quel est l'ensemble des valeurs prises par ?
4. Soit dans . Soit une partie de . Quelle est la probabilité de l'événement « » en fonction de ?
5. Soit dans . Exprimer , la probabilité qu'aucune des variables ne prenne la valeur , en fonction de et .
6. En déduire , la probabilité que la valeur prise par soit différente de toutes les valeurs prises par les autres variables, en fonction de et .
7. Justifier
où désigne l'ensemble des parties non vides de .
8. En déduire dans le cas où :
  1. Exprimer en fonction de et .
  2. Déterminer la limite de lorsque est fixé et tend vers . Interprétez votre résultat.
  3. Déterminer la limite de lorsque est fixé et tend vers . Interprétez votre résultat.
  4. On s'intéresse aux possibles partages de dates d'anniversaire dans un groupe de personnes. On suppose que les années sont toutes de 365 jours et que les dates d'anniversaire sont uniformément réparties sur chaque jour de l'année. On fait aussi l'hypothèse que les dates d'anniversaire de personnes choisies au hasard sont indépendantes mutuellement.
Soit le nombre de dates d'anniversaire d'un groupe de personnes choisies au hasard.
(a) Exprimer en fonction de le nombre moyen de dates d'anniversaire d'un groupe de personnes, c'est-à-dire .
(b) Quelle est la limite de ce nombre moyen lorsque tend vers ?
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