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E3A Mathématiques 1 MP 2017

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Nombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsIntégrales généraliséesProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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E3A
Année
2017
Filière
MP
Matière
Maths
E3A MPE3A 2017MP MathsMaths 2017
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e3a 2017 MP : Maths 1

EXERCICE n

Dans tout l'exercice désigne un réel strictement supérieur à 1 .
  1. Soit un entier strictement positif.
    a) Justifier l'existence de l'intégrale notée égale à .
    b) En effectuant le changement de variable dans l'intégrale , montrer que l'application est intégrable sur ] [ et exprimer l'intégrale en fonction de l'intégrale .
    c) Montrer que :
  1. Déterminer la limite : pour .
  2. Pour tout entier , on définit la suite par :
a) Montrer, en justifiant avec soin, que la limite de la suite lorsque tend vers plus l'infini est égale à où .
b) En déduire un équivalent de l'intégrale lorsque tend vers plus l'infini.
4) a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière où est la suite définie à la question 1).
b) Pour tel que : , on note . Montrer, en précisant avec soin le théorème utilisé, que :

EXERCICE n

est un espace euclidien de dimension muni du produit scalaire ( ) . On rappelle qu'un automorphisme de est un endomorphisme bijectif de . On considère un automorphisme de qui vérifie la propriété (1) :
  1. Soit une base orthonormée de . Soit la matrice de dans la base .
    a) Étant donnés deux entiers compris entre 1 et , on note le -ème coefficient de A. Justifier :
b) En déduire l'égalité : .
2) Montrer que l'entier est un nombre pair.
Indication : On pourra considérer le déterminant de la matrice .
3) On appelle l'automorphisme égal à . Montrer que est un automorphisme diagonalisable dans une base orthonormée de .
4) Soit une valeur propre réelle de , montrer que est strictement négative.
5) On note un vecteur propre de l'automorphisme associé à la valeur propre et le sous-espace vectoriel de engendré par et .
a) Montrer que la dimension de est égale à 2 .
b) Montrer que est stable par l'automorphisme , en déduire que l'orthogonal est aussi stable par . On notera et les applications induites par l'automorphisme sur les sous-espaces vectoriels et .
c) Soit une valeur propre réelle de , on pose . Montrer qu'il existe une base orthonormée de telle que la matrice de dans la base soit égale à . Indication : On pourra considérer les vecteurs et .
d) Montrer que l'endomorphisme est un automorphisme vérifiant la relation (1).
6) On suppose dans cette question que l'espace euclidien est de dimension 4 . Soit un automorphisme de vérifiant la relation (1).
Montrer qu'il existe une base orthonormée " de et deux réels et non nuls tels que la matrice de l'automorphisme dans cette base soit égale à :

EXERCICE n

Première partie

Soit un réel , on considère la fonction définie sur par :
  1. Montrer qu'il existe un unique réel noté tel que : .
  2. On considère la suite ( ) définie par : .
Pour tout entier est l'abscisse du point d'intersection de l'axe des abscisses et de la tangente à la courbe d'équation , au point de coordonnées .
a) Montrer que la suite est bien définie et que :
b) Déterminer le sens de variation de l'application .
En déduire que :
c) Montrer que :
d) En déduire :
puis que :
e) Pour tout réel , vérifier que est une valeur approchée de à 0.03 près.
3) Application informatique. On utilisera le langage Python sans aucune bibliothèque supplémentaire. Écrire une fonction suite en langage Python qui prend en entrée le paramètre et un entier et qui renvoie la liste des premiers termes de la suite de la question 2) en fonction de .

Deuxième partie

On considère un espace probabilisé ( ), deux réels et strictement positifs et une variable aléatoire définie sur telle que et dont la loi est définie par :
On rappelle que la fonction génératrice d'une variable aléatoire est la somme de la série entière :
  1. Déterminer la relation liant les réels et .
  2. Déterminer la fonction génératrice de la variable aléatoire .
  3. On suppose qu'une population évolue par générations. Étant donné un entier naturel , on note la variable aléatoire qui représente le nombre d'individus de la -ième génération. Le nombre de descendants de chaque individu d'une génération quelconque suit la loi de la variable aléatoire . On pose .
    On admet que pour tout entier naturel , la fonction génératrice de la variable aléatoire vérifie la relation de récurrence :
Dans cet exercice, on s'intéresse à la probabilité d'extinction de la population à long terme, ce qu'on mesure par le comportement asymptotique de la suite . Pour , on note .
a) Soit , exprimer en fonction de la fonction génératrice .
b) Pour , exprimer en fonction de .
c) Montrer que , en déduire que : .
Montrer alors que la suite ( ) est convergente vers un réel noté appartenant à .
d) Montrer que le réel est égal au réel de la partie I, en déduire une approximation de la probabilité d'extinction de la population à long terme en fonction de .

EXERCICE n

Le but de cet exercice est de modéliser le trajet d'un piéton dans une grande ville dont les rues se croisent à angle droit.
À New-York, dans le quartier de Manhattan, un piéton voit au loin, dans la direction du Nord, le gratte-ciel Empire State Building sous un angle de 45 degrés vers l'Est.
À chaque croisement de rues, le piéton choisit d'aller soit vers le Nord , soit vers l'Est .
On appelle étape le déplacement du piéton entre deux croisements consécutifs. Soit un entier naturel non nul. Un trajet de étapes est représenté par une suite ( ) avec, pour tout entier compris entre 1 et , au -ème croisement, le piéton s'est dirigé vers l'Est et , au -ème croisement, le piéton s'est dirigé vers le Nord.
On définit l'origine du repère au point de départ du piéton, chaque croisement du trajet a pour coordonnées ( ) où reprśente le nombre de rues vers l'Est depuis l'origine et le nombre de rues vers le Nord toujours depuis l'origine, les croisements se situent à égales distances. A chaque trajet de étapes ( est un entier naturel non nul) on associe le chemin passant par la suite des points de coordonnées pour définies par récurrence par :

pour ,
La figure ci-jointe illustre un trajet de 18 étapes du piéton.
  1. a) Écrire en langage Python une fonction deplacement( ) dont la valeur est ( ) si et si .
    b) Écrire une fonction où est une chaîne constituée des caractères " " et " " et qui renvoie la liste des abscisses ainsi que la liste des ordonnées des points du trajet.
  2. a) En remarquant qu'à chaque étape on a deux choix possibles, déterminer le nombre de trajets comportant exactement étapes où .
    b) Le nombre de chemins reliant l'origine au point de coordonnées ( 3,2 ) est égal au nombre de trajets de cinq étapes comportant deux étapes et trois étapes , en déduire le nombre de trajets reliant l'origine au point de coordonnées .
    c) Plus généralement, soit un point de coordonnées avec , déterminer le nombre de chemins reliant l'origine à ce point .
  3. Pour , on appelle l'événement "Le chemin passe pour la première fois à l'étape par un point de la droite d'équation ". On pourra noter l'événement "à l'étape , le déplacement se fait vers le Nord" et l'événement "à l'étape , le déplacement se fait vers l'Est".
    a) Calculer la probabilité de l'événement .
    b) Soient quatre entiers naturels , on note l'ensemble des chemins reliant le point de coordonnées au point de coordonnées . Déterminer le cardinal de l'ensemble des chemins reliant le point de coordonnées au point de coordonnées pour .
    c) Soit . On admet pour des raisons de symétrie que le nombre de chemins reliant le point de coordonnées au point de coordonnées et coupant la droite d'équation est égal au nombre de chemins reliant le point de coordonnées au point de coordonnées . Déterminer le nombre de chemins reliant le point de coordonnées au point de coordonnées et coupant la droite d'équation .
    Soient quatre entiers naturels , on note l'ensemble des chemins reliant le point de coordonnées au point de coordonnées ne coupant pas la droite d'équation .
    d) En déduire le cardinal de l'ensemble des chemins reliant le point de coordonnées au point de coordonnées ne coupant pas la droite d'équation .
    e) Déterminer de même le cardinal de l'ensemble des chemins reliant le point de coordonnées au point de coordonnées ne coupant pas la droite d'équation .
    f) En déduire que pour tout entier :
puis que
  1. On considère la suite ( ) définie par : .
    a) Déterminer le réel tel que :
b) En appliquant la comparaison série-intégrale, montrer qu'il existe une constante réelle telle que :
c) En calculant de deux manières différentes la somme , montrer qu'il existe une constante telle que :
d) Montrer que: , en déduire la somme de la série , que peut-on en déduire?
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