Un polynôme de est dit normalisé si le coefficient de son terme de plus haut degré est égal à 1. Si est un entier naturel, désigne le sous-espace vectoriel de engendré par les monômes .

Soit un polynôme de normalisé de degré 2 , tel que pour tout réel . L'entier naturel étant fixé, on lui associe l'équation différentielle :

Pour , on pose .
. (a) Montrer que l'on définit ainsi un endomorphisme de dont on donnera la représentation matricielle dans la base des monômes . Préciser les éléments diagonaux que l'on notera avec .
(b) Démontrer que est diagonalisable et donner la dimension de chacun des sousespaces propres de .
(c) Démontrer que pour tout entier naturel , il existe un polynôme , normalisé et de degré , tel que . Discuter l'unicité de ces polynômes .
(d) En déduire que toutes les solutions sur de l'équation ( ) sont des fonctions polynômes.
. Soit un intervalle ouvert non vide tel que soit différent de zéro pour tout de . On cherche à exprimer une fonction , solution de l'équation , sous la forme
où est une application définie sur . Démontrer l'existence d'une telle fonction de classe et que est solution d'une équation différentielle du premier ordre que l'on résoudra.
. Démontrer que la fraction rationnelle est la dérivée d'une fraction rationnelle que l'on précisera.

Soit l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles, -périodiques, paires, continues et de classe par morceaux sur .

À tout élément de , on associe l'équation différentielle :

. (a) Étudier existence et unicité d'une solution sur de telle que et .
(b) Exprimer la solution générale sur de à l'aide de ch et .
. (a) Vérifier que définit une solution sur de et en déduire que est paire.
(b) Quelles sont les solutions sur de telles que ?
(c) Montrer que l'équation admet une unique solution telle que 0.
(d) En étudiant l'application démontrer que est l'unique solution -périodique sur de et que cette solution est paire.
. (a) Vérifier que, pour tout réel et en déduire une expression de . (On pourra utiliser les égalités et .
(b) Démontrer que, en posant l'on définit ainsi un endomorphisme continu de l'espace vectoriel muni de la norme de la convergence uniforme.
. (a) Démontrer que et admettent des développements en série de Fourier de la forme

ces séries trigonométriques convergeant normalement sur .
(b) Exprimer les coefficients en fonction des coefficients .
. Dans cette question, on choisit .
(a) Déterminer la restriction de à l'intervalle à l'aide des fonctions sin, ch et sh.
(b) Calculer les coefficients , puis les coefficients .
(c) Donner la valeur de la somme .

On considère le plan affine euclidien , rapporté à un repère orthonormé . Le nombre réel strictement positif est donné.

Soit une application de classe sur telle que . On lui associe l'application de dans définie par :

Pour réel, désigne le point de défini par la relation et désigne l'arc paramétré défini par l'application de dans définie par .

Enfin est l'arc paramétré défini par l'application de dans définie par .
. (a) Donner une équation polaire de dans le repère . Dessiner le support de .
(b) Plus généralement donner pour réel une équation polaire de dans le repère . Déterminer une isométrie transformant le support de en celui de .
. (a) Déterminer l'application de telle sorte que, pour tout réel , on ait la relation :

Interpréter géométriquement cette égalité.
(b) Montrer que, dans ces conditions, si le point de paramétre de est un point régulier, il en est de même pour le point de paramétre de . Comment déduire la tangente à en de la tangente en à ?

Dans la suite, désigne l'arc paramétré de défini pour tout réel par :

. (a) Soient respectivement et des abscisses curvilignes sur et . Comparer et .
(b) Comparer et calculer la longueur des sous-arcs respectifs de et de définis par l'intervalle .
(c) Pour , déterminer le repère de Frenet au point de . Calculer le rayon de courbure en ce point.
(d) Soit le point défini par la relation . Calculer les coordonnées de dans le repère .
(e) Soit le lieu des points . Par quelle transformation affine le support de se déduit-il de celui de ?
. (a) Expliciter des transformations géométriques simples laissant globalement invariant le support de .
(b) Montrer que le point est un point singulier de . Préciser l'existence d'une tangente et la nature de la singularité.
(c) Dessiner sur une même figure le support de , le support du sous-arc de défini par l'intervalle , ainsi que le support de , le point et la tangente au point de contact pour les valeurs et .