Centrale Physique MP 2009

Les calculettes sont autorisées.

Ce problème se propose d'établir quelques propriétés simples de l'Univers, telle qu'on les comprend actuellement, mais au moyen de modèles physiques simplifiés. À notre échelle, l'Univers est formé d'étoiles et de leurs planètes, regroupées en amas ou galaxies, ainsi que d'une certaine quantité de gaz interstellaire. Cependant, à plus vaste échelle, nous serons éventuellement amenés à traiter l'Univers comme un système fluide homogène.

Les quatre parties et de nombreuses questions peuvent être abordées de manière très largement indépendante.

Cette partie étudie, dans un modèle non relativiste, la déviation d'une particule par une étoile , considérée comme une répartition de masse à symétrie sphérique, de rayon , de masse et de centre . La particule étudiée est ponctuelle et de masse . On considère le système formé de et comme isolé. Le référentiel d'étude ( ) est galiléen.

I.A.1) Définir le référentiel barycentrique du mouvement du système relativement à ; on le notera ( ). Quelle propriété importante du référentiel ( ) peut-on affirmer?
I.A.2) On notera un point fixe de ( ), le centre d'inertie du système ; on notera . On notera aussi (voir figure). Les dérivées temporelles successives, prises dans le référentiel ( ), de ces vecteurs sont notées:

Exprimer la vitesse et l'accélération de relativement à ( ) en fonction de , et des masses et .
I.A.3) Exprimer le moment cinétique en du système relativement à ( ) en fonction de de et de la masse réduite définie par .
Exprimer aussi l'énergie cinétique du système relativement à ( ) en fonction de et .
I.A.4) Expliciter l'équation différentielle du second ordre qui régit l'évolution de . On notera et on supposera .
I.A.5) En déduire la conservation du moment cinétique barycentrique système. L'énergie cinétique barycentrique du système se conserve-t-elle?

On se place dans toute la suite du problème dans le référentiel ( ). On suppose que .
I.B.1) Montrer dans ce cas que et que la vitesse de dans le référentiel barycentrique est voisine de . Relier de même les constantes du mouvement barycentrique et au moment cinétique et à l'énergie cinétique de dans le référentiel ( ).
I.B.2) On supposera . Quelle est l'équation du mouvement de ? Montrer que le mouvement de est plan.

On appellera Gxy le plan du mouvement ; on repère la position de dans le plan Gxy par ses coordonnées polaires et . On notera la base locale polaire correspondante (voir figure ci-contre).
I.B.3) On pose

Expliciter en fonction de et , puis expliciter la dérivée en fonction de et . En déduire que le vecteur est, pour un choix que l'on précisera de la constante , une constante du mouvement.
Expliquer pourquoi on ne perd pas de généralité dans l'étude du mouvement en posant avec .
I.B.4) À partir du résultat de la question précédente, exprimer en fonction de et ; en déduire l'équation de la trajectoire, qu'on écrira sous la forme . Expliciter en fonction de et , puis en fonction de et .
À quelle condition, portant sur , la trajectoire de est-elle hyperbolique?

On ne fait plus ici d'hypothèse particulière quant à la direction du vecteur dans le plan Gxy du mouvement.
I.C.1) Lorsque la particule est encore située à très grande distance de l'étoile , voir la figure ci-dessus), sa vitesse est colinéaire à ; elle a pour norme . L'asymptote à cette trajectoire incidente passe à la distance de . Exprimer en fonction de et ; préciser en particulier le signe de .
I.C.2) Lorsque la particule s'est largement éloignée de l'étoile , sa trajectoire est à nouveau une droite parcourue à la vitesse constante . Quelle est la norme de ?
I.C.3) Exprimer, pour puis pour , le vecteur projeté sur la base en fonction de et de l'angle de déviation entre les droites et .
En déduire une expression de en fonction de et .
I.C.4) Lors de son mouvement, la particule passe à un certain instant à une distance minimale du centre de l'étoile . À partir par exemple de deux lois de conservation, déterminer une équation du second degré dont est solution. En déduire que :

I.C.5) Quel est le sens de variation, pour fixé, de la fonction reliant l'angle de déviation et la distance minimale d'approche ? Commenter.
I.C.6) Lorsque cette distance minimale correspond à une trajectoire rasante , quelle est la valeur de la déviation ? On montrera que :

où l'on exprimera en fonction de , et .
I.C.7) Déterminer numériquement , appelé rayon de Schwarzschild, dans le cas du Soleil pour une particule de vitesse .

La lumière est ici traitée comme un faisceau de photons, particules dont la masse n'a pas besoin d'être précisée dans la suite (même si on sait aujourd'hui qu'elle est nulle), et qu'on traitera dans le cadre de la mécanique non relativiste (même si cette approximation n'est pas légitime). Ces photons seront considérés comme soumis, comme une particule matérielle ordinaire, à l'interaction gravitationnelle avec l'étoile.
On admettra que, pour les photons passant à proximité du Soleil, (voir I.C.6).
I.D.1) Déterminer, en secondes d'arc, la déviation correspondant à un photon rasant le Soleil. On prendra .
I.D.2) Une expédition fut montée en mai 1919 pour observer cette déviation à l'occasion d'une éclipse de Soleil. La météo ne fut pas très bonne, pas plus donc que la qualité des observations ; toutefois, des mesures ultérieures menées lors de diverses éclipses de 1922 à 1999 confirmèrent progressivement une valeur mesurée expérimentalement .
Pourquoi la mesure doit-elle être menée lors d'une éclipse du Soleil ? Commenter la valeur de .

La présence d'un astre massif sur le trajet d'un faisceau de lumière parallèle provoque une déviation des rayons lumineux formant ce faisceau. L'angle de déviation dépend de la distance entre le rayon étudié et l'astre , sous la forme

I.E.1) Par analyse dimensionnelle, préciser l'unité de la grandeur constante .
I.E.2) Montrer que la déviation gravitationnelle de la lumière par l'astre se comporte, pour un rayon passant à la distance b de l'astre (cf. figure ci-contre), comme une lentille convergente dont on exprimera la

distance focale en fonction de et .
On considère un rayon lumineux rasant la surface du Soleil ; est donc voisin du rayon du Soleil.
I.E.3) Déterminer dans ces conditions ; on prendra SI et on exprimera le résultat en années-lumière (une année-lumière est la distance parcourue par la lumière pendant une année).
I.E.4) L'observation des astres lointains et peu lumineux est parfois améliorée lorsque s'interpose, sur le trajet de la lumière entre ces astres et la Terre, une galaxie massive. Pouvez-vous expliquer ce fait?

On étudie d'abord un système mécanique simple, à un seul degré de liberté, entièrement caractérisé par son énergie cinétique où est une grandeur constante, positive. Toutes les actions mécaniques subies par ce système dérivent de son énergie potentielle fonction du seul paramètre : .
II.A.1) Étudier l'existence de positions d'équilibre du système et étudier la stabilité d'un équilibre pour des petits mouvements autour de cet équilibre. Montrer que la condition d'équilibre stable s'exprime en fonction de deux dérivées de la fonction énergie potentielle .
II.A.2) Expliquer brièvement pourquoi les conclusions de la question II.A. 1 sont inchangées, même si l'énergie cinétique du système se met sous la forme

Nous admettrons ici qu'un système thermodynamique peut atteindre un équilibre stable si sa capacité thermique est positive. Le système étudié ici est un système autogravitant (étoile, galaxie ou Univers considéré comme isolé), c'est-à-dire un système constitué de particules dont l'interaction est seulement gravitationnelle. On notera son énergie cinétique et son énergie potentielle. On appelle viriel du système la quantité définie par

où désigne la force exercée sur la particule , placée au point . On note aussi la moyenne temporelle d'une grandeur variable au cours du temps , définie comme la limite (si elle existe) :

Sous certaines réserves qu'on supposera vérifiées, on peut montrer et on admettra que l'énergie cinétique moyenne du système est donnée par .
II.B.1) La force exercée sur la particule du système s'écrit

L'énergie potentielle d'interaction entre deux particules et peut s'écrire

Parmi les deux expressions (1) et (2) ci-dessous, choisir celle qui exprime l'énergie potentielle d'interaction du système autogravitant tout entier ; justifier.

II.B.2) Par application du principe des actions réciproques (ou principe de l'action et de la réaction), regrouper, dans la somme qui définit le viriel, les particules par paires. En déduire que l'énergie potentielle est liée très simplement au viriel .
II.B.3) En déduire que l'énergie mécanique totale du système vaut .
II.B.4) On suppose que le centre d'inertie du système est au repos dans le référentiel galiléen d'étude. Relier à la température du système . En déduire que la capacité thermique isochore d'un système autogravitant est négative, et qu'il est thermodynamiquement instable. Commenter.
II.B.5) Dans le cas du Soleil ou des autres étoiles en activité, qu'est-ce qui empêche leur effondrement?

Compte tenu de l'instabilité des systèmes autogravitants, et donc de l'Univers lui-même, nous allons chercher à caractériser l'évolution de ce système au cours du temps, c'est-àdire actuellement son expansion. La première évidence expérimentale acquise quant à cette expansion a été la loi de Hubble, dont la mise en évidence repose sur les propriétés de l'effet Doppler-Fizeau ou effet Doppler.

Considérons une onde monochromatique d'amplitude complexe , se propageant dans la direction du vecteur unitaire , décrite dans le référentiel ( ). Dans ce référentiel on note ( ) la position et l'instant du passage de l'onde avec la phase où avec .
III.A.1) Dans un référentiel ( ) en translation par rapport à ( ) à la vitesse , indiquer la position et l'instant du même passage, dans le cadre de la mécanique classique.
III.A.2) La phase doit avoir même valeur dans les deux référentiels ; en déduire les formules de l'effet Doppler classique, liant les caractéristiques ( ) et ( ) de l'onde dans ( ) et ( ).
III.A.3) Relier les vitesses de phase et de groupe et de l'onde dans les deux référentiels. Commenter.
III.A.4) Expliquer pourquoi ces deux lois sont en fait incompatibles avec les lois de propagation des ondes électromagnétiques, déduites des équations de Maxwell.
III.A.5) Nous admettrons que, dans le cadre de la mécanique relativiste, la loi de transformation de la pulsation d'une onde électromagnétique ou lumineuse est: où et , où on note la célérité de la lumière dans le vide. En déduire la relation liant les longueurs d'onde et de la lumière dans ( ) et ( ). Que deviennent ces expressions de et si la vitesse de changement de référentiel est faible devant celle de la lumière ? Comparer à l'effet Doppler-Fizeau classique étudié en III.A.2.

Lorsqu'une onde électromagnétique est émise à la longueur d'onde , relativement au référentiel ( ) de l'émetteur, cette même onde sera reçue par un récepteur fixe dans le référentiel ( ), mais qui s'éloigne longitudinalement de ( ) à la vitesse , avec une longueur d'onde différente de . La relation qui lie et est:

On rappelle que le spectre de rayonnement d'une étoile de température de surface , assimilé à une émission thermique, est donné par la loi de Planck qui donne la puissance rayonnée par unité de surface de l'étoile entre les longueurs d'onde et :

où est la constante de Planck et la constante de Boltzmann. On appelle la valeur de pour laquelle la fonction présente un maximum.
III.B.1) Donner une expression approchée de la relation liant et . On pourra supposer que, au voisinage de ce maximum , avant de vérifier la validité de cette approximation.
III.B.2) Calculer pour une étoile de température de surface . À quel domaine du spectre électromagnétique correspond ?
III.B.3) Expliquer brièvement pourquoi, compte tenu de la forme de la distribution de Planck au voisinage de son maximum, la mesure du déplacement de par effet Doppler ne constitue pas une méthode précise de mesure de la vitesse de l'étoile émettrice par rapport au système solaire.
III.B.4) En vous basant sur les propriétés de l'absorption de la lumière par les atomes, montrer que la présence d'une couche d'atomes froids entourant une étoile permet de proposer une méthode plus précise de mesure de .

L'astrophysicien américain Hubble a, le premier, appliqué cette méthode de façon systématique, montrant une relation linéaire entre la vitesse d'éloignement des galaxies et leur distance au système solaire : c'est la loi de Hubble. D'après celle-ci, une galaxie (ou une étoile) située à la distance d'une origine arbitraire s'éloigne de ce point avec une vitesse radiale , où la grandeur , identique pour toutes les galaxies (ou étoiles), porte le nom de constante de Hubble. On peut aussi écrire vectoriellement la vitesse de la galaxie (ou étoile) sous la forme .
III.B.5) Soit un point lié à une galaxie quelconque de l'Univers. Déterminer la vitesse de la galaxie par rapport à . En déduire que la loi de Hubble est vérifiée avec une origine quelconque , avec la même constante de Hubble . Commenter.
III.B.6) Une étoile émet un rayon lumineux vers le point , avec ; en admettant que et restent quasiment constantes au cours du laps de temps qui sépare le voyage d'un rayon lumineux depuis son étoile d'émission jusqu'à son point de réception, calculer la variation relative de longueur d'onde due à l'effet Doppler entre émission et réception, en fonction de et .
On dira qu'il y a dilatation commune de toutes les longueurs au cours de l'expansion, qu'il s'agisse de distances matérielles ou de longueurs caractéristiques, comme les longueurs d'onde.

IV.A.1) À tout instant , l'Univers peut être considéré comme un émetteur thermique à la température . On montre (Partie III), qu'au cours de l'évolution de l'Univers, la longueur d'onde d'un photon quelconque varie proportionnellement aux dimensions caractéristiques de l'Univers. En déduire qu'un Univers en expansion se refroidit.
La loi de Wien pour un émetteur thermique donne la longueur d'onde du maximum d'émission en fonction de la température sous la forme .
IV.A.2) Quelle est la température actuelle de l'Univers si la longueur d'onde du maximum de l'émission est égale à ? Dans quel domaine spectral se trouve ce maximum d'émission?

Actuellement, l'énergie mécanique de l'Univers est essentiellement présente sous forme matérielle, énergie mécanique de particules en interaction gravitationnelle. Nous décrirons l'Univers comme un fluide homogène de masse volumique , ayant la symétrie de révolution autour d'une étoile centrale arbitraire. L'expansion de l'Univers est décrite par la loi de Hubble (voir III.B.4).
IV.B.1) Une étoile de masse se situe, à l'instant , à la distance de . Montrer que la masse contenue à l'intérieur de la sphère de centre et de rayon est constante au cours du temps.
Donner l'expression du champ de gravitation exercé sur l'étoile , assimilée à un point matériel, en fonction de et . En déduire l'énergie potentielle de en fonction de et puis en fonction de et . On choisira si .
IV.B.2) Déterminer l'énergie mécanique totale de la même étoile, en fonction de et de la constante de Hubble .
IV.B.3) Montrer que le caractère ouvert ou fermé de l'Univers, c'est-à-dire la possibilité pour les étoiles de s'éloigner indéfiniment les unes des autres, dépend seulement de la valeur de relativement à une valeur critique qu'on exprimera en fonction de et .
IV.B.4) vaut actuellement par million d'années-lumière (une an-née-lumière est la distance parcourue par la lumière à la vitesse pendant une année). Calculer la valeur actuelle de .
IV.B.5) En exprimant la conservation de la masse, montrer que varie proportionnellement à et préciser l'entier .

Dans les premiers temps de l'Univers, l'essentiel de l'énergie de celui-ci était présent sous forme de rayonnement électromagnétique ; nous admettrons dans la suite que lors d'une telle période, on peut utiliser les résultats de la mécanique classique à condition de remplacer la densité volumique par le rapport , où est la densité volumique d'énergie électromagnétique à l'instant ; il s'agit simplement d'une extension de la relation classique d'équivalence masse-énergie .
IV.C.1) Exprimer la puissance partant de l'unité de surface d'un émetteur thermique à la température et dont la fréquence est située entre les valeurs et , en fonction de et de la fonction définie par

IV.C.2) On donne la valeur de l'intégrale.

En déduire la puissance rayonnée, par unité de surface de l'émetteur thermique, sur l'ensemble du spectre électromagnétique, en fonction de et de constantes universelles.
IV.C.3) En admettant que la densité volumique d'énergie électromagnétique et la puissance rayonnée vérifient la relation , montrer que est proportionnel à ; on pourra utiliser le résultat établi dans la partie III : les dimensions et varient proportionnellement au cours du temps.

Selon l'ère étudiée (dominante radiative au début, matérielle ensuite), on écrira la masse volumique de l'Univers sous la forme où vaut -4 au début de l'histoire de l'Univers et - 3 ensuite ; la constante n'a évidemment pas la même valeur dans les deux cas. Dans les deux cas, on supposera que l'Univers est très proche de la situation critique décrite en IV.B.4, donc que la constante de Hubble s'écrit :

IV.D.1) En utilisant la loi de Hubble, établir une équation différentielle pour en fonction de et .
IV.D.2) Montrer que la durée séparant deux instants et est liée aux masses volumiques en ces deux instants, selon :

IV.D.3) Pendant l'ère à dominante radiative,

Calculer la durée nécessaire pour que l'Univers se refroidisse depuis sa température initiale ( ) jusqu'à puis jusqu'à 3000 K .
IV.D.4) En utilisant la relation établie en IV.D. 2 de manière approchée avec une valeur moyenne de , évaluer l'âge de l'Univers. On prendra pour masse volumique actuelle de l'Univers la valeur .