Centrale Physique Chimie PSI 2004

La révolution technologique qu'a représenté le développement de la micro-électronique et de l'informatique depuis les années 1960 a soudainement montré l'importance du silicium, un élément chimique jusque-là connu des seuls spécialistes. L'avènement de composants d'électronique de puissance performants (IGBT,1985), et de processeurs dédiés au traitement du signal (DSP, 1982), ont redéfini le domaine de la variation de vitesse des machines électriques. Le problème aborde divers aspects de cette évolution.

Les données thermodynamiques utiles sont fournies à la fin de cette partie (Tableau 1).

I.A.1) Rappeler en quoi consiste l'approximation d'Ellingham, et ses conséquences.
I.A.2) Donner les équations des droites d'Ellingham, relatives à une mole de , pour les couples et , pour . Tracer le diagramme correspondant. On prendra pour échelle 1 cm pour , 1 cm pour .
I.A.3) Un mélange de coke C et de silice est placé dans un four à arc, sous 1 bar.
a) À quelle température minimum doit-on porter le milieu réactionnel pour former du silicium ? Sous quelle phase est-il obtenu?
b) Quel est le gaz formé dans cette réaction? Évaluer le volume de gaz dégagé à pour produire 1 tonne de silicium, ainsi que la quantité minimale nécessaire de silice et de coke.

Le silicium obtenu précédemment comporte environ 2 % d'impuretés (fer et aluminium sous forme métallique essentiellement).
I.B.1) À 580 K , ce silicium impur est placé dans un courant gazeux de HCl , en présence d'un catalyseur.

Discuter la formation de en phase gazeuse, en justifiant. Peut-on conclure quant à la présence de en phase gazeuse?
I.B.2) La phase gazeuse précédente est condensée à l'état liquide, puis portée à une température d'environ 350 K . Justifier cet ordre de grandeur de température.
Une distillation fractionnée permet par la suite d'isoler le trichlorosilane . Celui-ci est ensuite réduit :

Le silicium obtenu est pur à .
a) Calculer la constante d'équilibre de la réaction à .
b) En déduire le coefficient de dissociation de , à pression atmosphérique, si les réactifs sont introduits dans les conditions stœchiométriques.
c) Quelle est l'influence d'une augmentation de température sur cet équilibre ? Justifier.
I.B.3) Le silicium ainsi obtenu doit encore être purifié pour la fabrication de circuits électroniques. Une technique de recristallisation (méthode de Czochralski) permet d'obtenir un lingot monocristallin ( 1 défaut pour atomes). Le silicium cristallise dans la structure diamant : c'est une structure cubique à face centrée dans laquelle un site tétraédrique sur deux est occupé. Déterminer, en notant le paramètre de maille :
a) la coordinence des atomes de Si .
b) le nombre d'atomes de Si par maille.
c) le rayon covalent de l'atome de , noté .
d) la compacité de la structure.
e) Application numérique. Données pour Si :

Calculer et .

Données thermodynamiques :

Dans un cristal de silicium, la rupture d'une liaison libère un électron, qui laisse derrière lui un «trou» (absence de liaison). La conduction électrique est assurée par les électrons (charge , concentration volumique ), et par les «trous» (charge , concentration volumique ). L'équilibre de la réaction se traduit par .
II.A.1) Silicium intrinsèque. À . En tenant compte de la neutralité électrique du métal, déterminer la concentration d'électrons de conduction. Sachant que, dans le cuivre, chaque atome libère un électron de conduction, justifier que le cuivre soit meilleur conducteur que le silicium.
Données pour , masse volumique .
II.A.2) Silicium dopé . Dans le cristal de silicium, certains atomes de silicium ( ) sont remplacés par des atomes d'arsenic ( ), à raison de par .
a) Écrire les configurations électroniques de ces deux atomes et en déduire que l'arsenic joue le rôle de donneur d'électrons.
b) En déduire que et à l'équilibre, en supposant , où représente la concentration d'électrons de conduction du silicium intrinsèque (II.A.1).
II.A.3) Silicium dopé . Certains atomes de silicium sont remplacés par des atomes de bore ( ), à raison de par .
a) Écrire la configuration électronique du bore et en déduire que le bore joue le rôle d'accepteur d'électrons (ou donneur de trous).
b) En déduire que et à l'équilibre, en supposant .

Soit (figure 1) une jonction unidimensionnelle, constituée de silicium, dopée pour et dopée pour , avec . Dans la zone , appelée zone de déplétion, et sont négligeables devant : les nombreux électrons de la zone 1 diffu-

sent dans la zone et s'annihilent suivant . Les zones 1 et 3 sont neutres.
II.B.1) Charge volumique .
a) Montrer que dans la zone de déplétion .
b) La jonction étant globalement neutre, on admettra l'existence d'une densité surfacique de charge dans le plan . Donner sa valeur. Expliquer physiquement son origine.
II.B.2) Champ électrique .
a) Montrer que .
b) Le silicium est un diélectrique de permittivité . À partir d'une équation de Maxwell, déduire une relation différentielle entre et .
II.B.3) Potentiel électrique .

Rappeler la relation différentielle entre et .
II.B.4) et sont pris nuls dans la zone 1 .
a) Montrer que est aussi nul dans la zone 3 .
b) Tracer sur le même graphe les courbes et , en indiquant les valeurs remarquables.

La jonction est insérée entre deux conducteurs métalliques pour réaliser une diode. Les courants qui circulent dans la diode sont des courants d'électrons (concentration ). Les conducteurs métalliques imposent l'équilibre du silicium aux limites : et ont les valeurs calculées en II.A. 2 et II.A.3. reste nul dans les zones 1 et 3 , ( est choisi nul dans la zone 1 ).
L'étude est menée en régime stationnaire.
II.C.1) Densité de courant électrique de conduction .

La vitesse des électrons suit la loi ( est la mobilité des électrons). Montrer que

II.C.2) Densité de courant électrique de diffusion . Le coefficient de diffusion des électrons est noté . Montrer que

Dans la suite on note la densité de courant totale.
II.C.3) Zones 1 et 3.
a) Montrer que la concentration suit une loi affine.
b) On note . Calculer en fonction de et .
c) Application numérique : pour une diode typique, on donne : ; .
Calculer la valeur de . Montrer que peut être considéré comme uniforme dans la zone 1 , mais pas dans la zone 3.
d) En déduire et , en fonction de et .
II.C.4) Zone 2.

Justifier le fait que et soient continus en 0 et .
En admettant que , montrer que et exprimer en fonction de et .
II.C.5) Caractéristique courant-tension :
a) On pose . Exprimer les relations entre et puis entre , et . Exprimer , valeur de

pour .
b) En admettant que représente la tension aux bornes de la diode (figure 2), montrer que dans la zone 3 :

Que vaut dans les autres zones?
c) Application numérique : , section de la jonction . Calculer numériquement et les valeurs de l'intensité du courant pour et . Commenter. Représenter l'allure de la caractéristique .

On cherche dans cette partie à développer pour cette machine un modèle équivalent à celui de la machine à courant continu.

Soit un ensemble de vecteurs unitaires du plan , tels que , et pour , .
Soit le vecteur unitaire tournant à la vitesse coïncidant avec à :

On cherche à vérifier informatiquement la validité du théorème de Ferraris :

III.A.1) En précisant le langage de calcul formel utilisé, proposer un type de données pour représenter un vecteur. Donner la représentation de , pour .
III.A.2) Écrire une fonction renvoyant la représentation du vecteur .
III.A.3) Écrire une fonction renvoyant la représentation du vecteur

III.A.4) Que doit renvoyer ?

Soit un ensemble de bobines ( , sur la figure 3) dont les axes sont perpendiculaires à , et tels que pour . La bobine ( ) est parcourue par un courant sinusoïdal de pulsation représenté en notation complexe par :

algébrisé suivant le sens conventionnel représenté, avec réel positif.
III.B.1) Donner en notation complexe l'expression du champ magnétique créé en par la bobine ( ) en notant son module.
III.B.2) En déduire que ces bobines créent un champ tournant dont on donnera le module , la vitesse et le sens de rotation et l'orientation à .

Une machine est constituée en plaçant une «cage d'écureuil» (figure 4 a), le rotor, entre les bobines fixes de la question III.B dans une zone ou sera supposé uniforme. Le rotor est en rotation autour de l'axe à la vitesse ( est légèrement inférieur à ). Cette cage sera considérée comme équivalente à spires conductrices non jointives ( sur la figure 4 b ). À et (lié au rotor) coïncident. La spire ( ) est dans le plan vertical, orientée par .
De façon générale, la spire ( ) est

orientée par le vecteur unitaire normal au plan la contenant et tel que et représentent l'inductance et la résistance d'une spire, sa surface. On prendra l'inductance mutuelle entre les spires du rotor nulle pour simplifier. Enfin on pose et on se place dans le référentiel du rotor.
III.C.1) À quelle vitesse la spire ( ) «voit-elle» le champ tourner?
III.C.2) Montrer qu'elle est parcourue par un courant de pulsation , dont on donnera l'amplitude complexe en fonction de :
.

III.C.3) En déduire sans calcul, pour la spire ( ), l'expression de en fonction de et . Dans toute la suite, on pose

III.C.4) Exprimer en notation réelle, en introduisant et en posant:

III.C.5) En déduire soigneusement que le rotor se comporte comme un moment , tournant à la même vitesse que , en retard sur de , et que . Quelle est la dimension de ?

III.D.1) Mettre l'expression du couple exercé par le stator sur le rotor sous la forme , en précisant l'expression de en fonction de , et .
III.D.2) On rappelle que pour une machine à courant continu . Identifier, en le justifiant, et .

Les seules pertes considérées sont les pertes par effet Joule au rotor. Exprimer en fonction de et :
III.E.1) la puissance disponible sur l'arbre.
III.E.2) la puissance dissipée dans le rotor.
III.E.3) Soit la puissance totale absorbée par la machine. Montrer que .
III.E.4) La tension d'alimentation aux bornes de la bobine ( ) du stator est sinusoïdale, de pulsation , d'amplitude complexe en convention récepteur

, avance de la tension sur le courant, est le même pour toutes les bobines. Exprimer en fonction de et .

Le moteur précédent est alimenté par un onduleur de tension délivrant le système de tension polyphasé décrit en III.E. 4 dans lequel les quantités et sont commandables. Les valeurs instantanées des courants sont mesurées. Un calculateur détermine alors la commande de l'onduleur (figure 5). La tension est fixée à sa valeur nominale .
III.F.1) On fixe les valeurs de et .
a) Montrer qu'alors les quantités et sont proportionnelles.
b) Au démarrage, dans quel sens évoluent et si ?

c) Dans quel sens doit-on faire évoluer pour que et restent constants?
III.F.2) On souhaite maintenir les quantités et à leurs valeurs nominales et . Montrer qu'il faut maintenir le rapport constant, et l'exprimer en fonction des valeurs nominales de la machine.
III.F.3) Dans la suite . La mise en œuvre du contrôle du couple nécessite la mesure de et . On pose ;

Montrer qu'un calculateur peut déduire et , en donnant les expressions correspondantes de et .

Soit un train de masse , entraîné par moteurs du type précédemment décrit. À pleine puissance, chaque moteur développe une puissance nominale , le train roulant alors à la vitesse et le couple valant . La voie est plane et toutes les pertes sont négligées ainsi que l'inertie des parties tournantes. Pendant la phase de démarrage et sont fixés à leurs valeurs nominales et
III.G.1) Montrer que la vitesse du train suit la loi .
III.G.2) Application numérique : TGV Transmanche (1994) :
tonnes, , . Calculer , l'accélération du train dans la phase de démarrage, ainsi que le temps et la distance nécessaires pour atteindre la vitesse nominale. Commenter.