Centrale Physique Chimie PSI 2000

Dans tout le problème les vecteurs seront notés et désignent des vecteurs unitaires.
Données numériques :

Accélération de la pesanteur
Masse volumique de l'air
Viscosité de l'air
Masse volumique du cuivre
Masse molaire atomique du cuivre

Une sphère est réalisée en cuivre, lequel cristallise selon une structure type cubique compact dont le paramètre de maille vaut 362 pm . La sphère pleine (boule) de rayon a une masse égale à .
I.A - Le numéro atomique du cuivre est . Donner sa configuration électronique en précisant les règles utilisées. Le cuivre est-il un métal de transition?
I.B - Dessiner la maille élémentaire du cuivre. La qualité du schéma sera appréciée. Placer sur le schéma les sites intersticiels, donner leur type, leur nombre ainsi que le nombre d'atomes par maille.

I.C.1) Quelle relation existe-t-il entre et , où est la constante d'Avogadro?
I.C.2) Déterminer une valeur numérique pour . Vous veillerez à donner la précision correcte pour cette détermination.

On considère dans toute cette partie un fluide newtonien visqueux de viscosité , incompressible et de masse volumique .

II.A.1) En considérant un écoulement unidirectionnel, tel que , exprimer la force qu'exerce l'élément de fluide sur l'élément de fluide du schéma ci-contre.
La surface de contact des deux éléments de fluide est notée .
II.A.2) En déduire que l'on peut définir une force

volumique de cisaillement dont on donnera l'expression dans le cas du champ étudié ici. On admettra par la suite que l'effet de la viscosité peut être traduit par une force volumique d'expression quel que soit le champ des vitesses ( est le Laplacien du champ vectoriel ).
II.A.3) En déduire l'expression que prend dans ce cas l'équation locale de la dynamique du fluide si celui-ci n'est soumis à aucune autre force volumique.

Par la suite, on s'intéresse à l'écoulement d'un fluide visqueux autour d'une sphère de rayon , en l'absence de toute autre force que celle de viscosité. On utilisera le repère de projection en coordonnées sphériques d'axe où est le centre de la sphère. À grande distance de la sphère, l'écoulement du fluide est uniforme et la pression dans le fluide est .
II.B.1) Bâtir à partir des grandeurs caractéristiques du fluide une grandeur homogène à une distance.
II.B.2) Exprimer le nombre de Reynolds relatif à l'écoulement étudié à partir de (prise comme distance caractéristique de l'écoulement) et .
II.B.3) Le fluide considéré est de l'air de vitesse . Calculer le nombre de Reynolds pour une sphère de rayon , puis pour une sphère de
rayon . Comment peut-on qualifier l'écoulement dans ces deux cas? Dessiner sommairement l'allure des lignes de courant correspondantes.
La force résultante, appelée traînée, correspondant aux actions du fluide sur la sphère est notée , avec .
II.B.4) Justifier que le coefficient de traînée de la sphère

ne dépend que du nombre de Reynolds pour un fluide fixé.

II.B.5) Interpréter la courbe donnant l'évolution du coefficient de traînée pour une sphère en fonction du nombre de Reynolds . Placer en particulier les points correspondant à l'application numérique de la question II.B. 3 si cela est possible.

Dans le cas de la «chute libre» d'une sphère de rayon , quelle expression approximative de la force de frottement de l'air peut-on prendre?

On nomme corrosion sèche l'attaque des métaux par l'air en l'absence d'eau liquide. On considère les réactions

On donne en

III.A - Déterminer .
III.B - Dismutation de l'oxyde de cuivre (I)
III.B.1) Écrire l'équation-bilan traduisant la réaction de dismutation de l'oxyde de cuivre ( ).
III.B.2) Déterminer et étudier la variance de cet équilibre.
III.B.3) Conclure quant à la stabilité de l'oxyde de cuivre (I) .

On réalise un diagramme en portant en ordonnées et en abscisses la température en , pression de référence, est égale à 1 bar.)
III.C.1) Porter sur ce diagramme les points correspondant aux équilibres (1), (2) et (3). Échelle : 10 cm pour pour 100 K .
III.C.2) Indiquer, en justifiant la réponse, quelles sont les espèces stables et quels sont leurs domaines de stabilité.
III.C.3) Quel est l'oxyde stable quand le cuivre est en contact avec l'air de l'atmosphère ( bar) à la température ?
III.C.4) Est-il possible que le cuivre ne soit pas attaqué ?

L'électron a été la première particule élémentaire mise en évidence et son acceptation par la communauté scientifique a nécessité près d'un siècle, depuis la caractérisation des lois de l'électrolyse par Faraday en 1833 jusqu'à la reconnaissance de l'électron vers 1920. Mais la détermination approximative de la masse et de la charge du corpuscule par Joseph John Thomson en 1897 marque la date de la découverte de l'électron. Les expériences de Millikan (à partir de 1909) ont permis la première détermination précise de la charge de l'électron.

Thomson avait pu mesurer avec précision le rapport charge/masse de l'électron. Décrire un exemple d'expérience simple réalisée au lycée, ou de dispositif utilisé dans la recherche ou l'industrie, permettant de mesurer ce rapport.

En utilisant un pulvérisateur d'huile ( ) , on crée de petites gouttelettes sphériques d'huile de rayon de l'ordre du micromètre. Sous l'action de la pesanteur, elles tombent à travers un trou à l'intérieur d'un condensateur plan constitué des deux armatures et . Lors de leur pulvérisation, les gouttelettes sont électrisées par frottement. Elles peuvent aussi l'être entre les armatures à l'aide d'une source ( ) de rayons . On observe le mouvement de ces gouttelettes dans le condensateur à l'aide d'une lunette de visée . On mesure en fait leur vitesse limite de chute en fonction de la différence de potentiel entre les armatures et .

La force de frottement visqueux due à l'air est donnée par la formule de Stokes :

L'axe sera orienté dans le sens de la verticale descendante.
IV.B.1) Exprimer la résultante des forces exercées sur une gouttelette en fonction de son rayon , de sa masse volumique , de la masse volumique de l'air , de l'accélération de la pesanteur , de la viscosité de l'air , de la charge de la gouttelette, de la distance entre les armatures ( ) et ( ) et de la différence de potentiel .
IV.B.2) Montrer qu'après un régime transitoire la gouttelette prend une vitesse limite fonction de la différence de potentiel . Donner une estimation de la durée du régime transitoire (la résolution de l'équation différentielle est inutile, un raisonnement dimensionnel suffit).
IV.B.3) Dans le cas d'une différence de potentiel nulle, on note la valeur de la vitesse limite. Montrer que le rayon de la gouttelette est donné par . Exprimer en fonction des données .
IV.B.4) On appelle la différence de potentiel pour laquelle la vitesse limite est nulle. Montrer que la charge de la gouttelette est donnée par une formule du type

Exprimer en fonction de et .
On prendra par la suite les valeurs calculées :

et :

IV.B.5) Déterminer l’ordre de grandeur de la durée du régime transitoire, calculer la valeur de la vitesse limite pour une gouttelette de rayon et la différence de potentiel d'arrêt pour une charge . Conclure quant à la faisabilité de l'expérience.

La lunette de visée permet de mesurer la vitesse verticale des gouttelettes. Elle peut être schématisée par un système de deux lentilles convergentes : l'objectif de distance focale image et l'oculaire

de distance focale image . Dans le plan focal objet de , on a placé un micromètre (échelle graduée).

L'observateur n'accommode pas et voit donc net un objet «à l'infini». La longueur de la lunette est réglée de telle façon qu'une gouttelette située à la distance de l'objectif est vue nette à travers la lunette.
IV.C.1) Pourquoi le micromètre est-il placé dans le plan focal objet de ? Pourquoi est-il nécessaire de placer l'oeil à proximité de l'oculaire ?
IV.C.2) Quelle relation entre et traduit le réglage de netteté de la lunette?
IV.C.3)
a) On repère la position verticale de la gouttelette par la graduation lue sur le micromètre. Quelle est l'expression de la vitesse verticale d'une gouttelette si, pendant une durée , elle s'est déplacée de graduations? On exprimera cette vitesse en fonction de et .
b) Déterminer les valeurs de et sachant que et qu'en le déplacement mesuré sur le micromètre correspondant à une gouttelette de vitesse est de .

IV.D.1) À la vue de ses résultats expérimentaux, Millikan décida d'apporter une correction à la formule de Stokes. Il postula que la force de traînée était donnée par où est la pression atmosphérique. Justifier le fait que le terme correctif est en valeur relative plus important pour et petits, sachant que le libre parcours moyen d'une molécule de gaz dans l'air est de l'ordre de grandeur de et qu'il augmente quand la pression diminue.
IV.D.2) La formule finale utilisée par Millikan est

Comme le coefficient était inconnu, il décida de faire une première estimation de la charge élémentaire et de en introduisant les valeurs approchées

Donner à partir des points du graphique précédent, une estimation de et de la charge élémentaire.
Remarque : l'expérience a été faite en suivant successivement 8 gouttes dont la charge a été modifiée à l'aide de la .

L'électrolyse d'une solution aqueuse de sulfate de cuivre à contenant d'acide sulfurique est réalisée avec une cathode en cuivre et une anode en plomb. Données :

IV.E.1)
a) Écrire les équations bilan des réactions pouvant se produire à la cathode.
b) Écrire les équations bilan des réactions pouvant se produire à l'anode.
c) Il y a passivation de l'anode. En donner une interprétation.
d) Quel est le bilan chimique de l'électrolyseur?
IV.E.2) L'électrolyse précédente est reprise mais avec deux électrodes en cuivre.
a) Écrire les réactions à chaque électrode en supposant que les surtensions sont négligeables.
L'électrolyse est tout d'abord réalisée avec du cuivre ultra pur, la masse de cuivre déposée à la cathode est égale à lorsque la quantité d'électricité passant dans l'électrolyseur est .
b) Comment peut-on mesurer la quantité d'électricité passant dans l'électrolyseur?
c) Déterminer une valeur de la constante d'Avogadro en prenant comme valeur pour la charge élémentaire.
d) En fait l'électrode de cuivre n'est pas parfaitement pure et contient des impuretés que nous schématiserons par des traces d'argent et de zinc. Les réactions
principales de l'électrolyse ne sont pas modifiées. Que deviennent le zinc et l'argent au cours de cette électrolyse? Écrire les réactions qui se produisent.

On reprend les hypothèses et les notations des deux premières parties. On se place en régime permanent et on suppose que la vitesse est suffisamment faible pour négliger le terme quadratique d'accélération convective (approximation linéaire).
V.A - Quelles sont, dans ce cas, les conditions imposées sur le champ des vitesses par:
V.A.1) l'incompressibilité du fluide,
V.A.2) la présence de la sphère,
V.A.3) la compatibilité avec l'approximation linéaire de l'équation locale de la dynamique.
On donne le champ des vitesses suivant :

On rappelle que

Dans le cas du champ de vitesses étudié, on a

V.B - Vérifier que le champ proposé vérifie les trois conditions imposées au problème. Caractériser cet écoulement par un ou plusieurs des mots suivants : rotationnel, irrotationnel, laminaire, turbulent, potentiel, stationnaire.

V.C.1) Déduire de l'équation locale de la dynamique linéarisée la valeur de la pression en tout point de la surface de la sphère.
V.C.2) Calculer la résultante des forces de pression sur la sphère. On donne

V.D - On admet que la force de cisaillement exercée par le fluide sur un élément de surface de sphère est donnée par

Justifier cette expression par analogie avec l'étude menée en II.A. Calculer la résultante des forces de cisaillement sur la sphère. On donne

V.E - Vérifier que la force de traînée sur la sphère est donnée par la formule (formule de Stokes)
et que ce résultat est compatible avec la courbe donnant le coefficient de traînée de la question II.B.5).