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À propos de la structure de la Terre
On considère que l'intérieur de la Terre est constitué d'une succession de couches de propriétés physiques différentes, telles que représentées à la figure 1 :
- au centre, le noyau forme
du volume terrestre et se divise en : - la graine (ou le noyau interne), essentiellement constitué de fer solide,
- le noyau externe, essentiellement constitué de fer liquide ;
- dans la partie intermédiaire, le manteau constitue
du volume terrestre; - en surface, la croûte solide représente moins de
du volume terrestre.
Le problème aborde divers phénomènes et modèles en relation avec cette structure.
Figure 1 Structure de la Terre. D'après Wikipédia.
- Croûte continentale
- Croûte océanique
- Manteau supérieur
- Manteau inférieur (ou mésosphère)
- Noyau externe
- Noyau interne (ou graine)
A. Discontinuité de Mohorovicic
B. Discontinuité de Gutenberg
C. Discontinuité de Lehmann
Température aux frontières du noyau externe:
- en B :
; - en
.
Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du candidat. Leur énoncé est repéré par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la démarche, les choix et de les illustrer, le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient compte du temps nécessaire à la résolution de ces questions.
On définit l'unité imaginaire i , nombre complexe tel que
Un formulaire et certaines données numériques, qui complètent celles de la figure 1, sont disponibles en fin d'énoncé.
Un formulaire et certaines données numériques, qui complètent celles de la figure 1, sont disponibles en fin d'énoncé.
I Des informations sur la structure de la Terre issues des ondes
Des informations sur la structure interne de la Terre sont obtenues par l'analyse des ondes sismiques qui s'y propagent suite aux grands séismes qui ont lieu dans la croûte solide. Ces ondes sont de natures variées:
- volumiques : elles peuvent alors être transversales (ondes S ) ou longitudinales (ondes P );
- surfaciques : elles sont les plus destructrices et ne sont pas étudiées ici.
I.A - Modèles d'ondes longitudinales et transversales
I.A.1) Ondes longitudinales dans les fluides et solides homogènes
On considère une onde sonore se propageant de façon unidimensionnelle suivant un axe (
On se place dans le cadre de l'approximation acoustique. La masse volumique s'écrit
L'accélération d'une particule de fluide est donnée par la dérivée particulaire
Q 1. On rappelle que l'équation locale de conservation de la masse s'écrit
Q 2. Écrire la projection sur
Q 3. Établir une relation linéaire entre
Q 4. En déduire l'équation aux dérivées partielles, de propagation, satisfaite par
Q 4. En déduire l'équation aux dérivées partielles, de propagation, satisfaite par
Q 5. Déterminer l'expression de la célérité
Q 6. Déterminer à présent la célérité
La théorie précédente s'étend aux ondes longitudinales dans les solides isotropes dans le cadre de l'élasticité linéaire. On considère un barreau solide cylindrique d'axe (
- la force par unité de surface, dite contrainte mécanique interne (
en Pa ), qui est l'analogue de ; - le module d'Young
du matériau tel que .
Q 7. En déduire l'expression de la célérité
Q 8. Proposer une interprétation physique pour les différences observées entre les célérités des ondes longitudinales
I.A.2) Ondes transversales dans un solide homogène
On étudie ici les ondes élastiques de déformation transverse se propageant suivant l'axe (
On admet, pour simplifier, que le plan de rang
Figure 2 Représentation schématique des déplacements atomiques.
Q 9. Établir l'équation différentielle régissant l'évolution temporelle du déplacement du plan de rang
On cherche des solutions de la forme
Q 10. Obtenir la relation de dispersion entre
Q 11. Tracer l'allure de la courbe donnant
Q 11. Tracer l'allure de la courbe donnant
Q 12. Établir les expressions littérales de la vitesse de phase
On se place à présent dans le cadre de l'approximation des milieux continus où la longueur d'onde
Q 13. Déduire la célérité
La célérité
Q 14. Discuter la relation
I.B - Ondes
Les ondes de volume dans la Terre, modélisée comme un milieu tridimensionnel élastique linéaire, sont de deux types:
- les ondes P de compression-dilatation de nature longitudinale. Elles peuvent se propager dans les milieux solides et fluides. Leur vitesse est donnée par
où est la masse volumique et et sont deux coefficients positifs appelés respectivement module d'incompressibilité et module de cisaillement (exprimés en Pa ). Ces trois grandeurs sont caractéristiques du milieu traversé. Le module de cisaillement est généralement considéré comme nul dans les fluides où il est négligeable devant le module d'incompressibilité ; - les ondes S de cisaillement. Elles ne se propagent effectivement que dans les solides. Leur vitesse est donnée
.
L'analyse de temps de parcours des ondes P et S , enregistrées en différents points du globe après de grands séismes, a permis de calibrer un modèle radial de la Terre dit modèle PREM (Preliminary Reference Earth Model). Il permet notamment de préciser, en fonction de la distance au centre de la Terre, les vitesses
Figure 3 Profils de la masse volumique et des vitesses des ondes P et S dans le modèle PREM. D'après Dziewonski A. M., Anderson D. L., 1981. Preliminary reference Earth model. Physics of the Earth and Planetary Interiors. Vol. 25, n
Q 15. En explicitant la démarche, attribuer aux vitesses des ondes
II Étude d'un modèle gravimétrique de la Terre
II.A - Préliminaire : l'analogie électrostatique-gravitation
Q 16. En utilisant l'analogie entre le champ électrostatique et le champ gravitationnel, montrer que ce dernier, noté
II.B - Un premier modèle gravimétrique fruste de la Terre
Dans ce premier modèle, on assimile la Terre à une boule
Q 17. Déterminer le champ gravitationnel
Q 17. Déterminer le champ gravitationnel
Q 18. Tracer sa norme en fonction de la distance
Q 19. Calculer sa valeur
Q 19. Calculer sa valeur
II.C - Un second modèle gravimétrique (noyau + manteau) de la Terre
Le modèle précédent est fruste puisqu'il ne tient pas assez compte de la structure interne de la Terre. On rencontre dans la littérature un second modèle, où la Terre est toujours assimilée à une boule de centre
Figure 4 Champ de gravitation terrestre à l'intérieur de la Terre pour un modèle (noyau + manteau).
On distingue deux parties dans ce modèle (noyau + manteau) : la discontinuité de Gutenberg définie à la figure 1 correspond à la distance
On note toujours
Q 20. Justifier que la valeur de
Q 20. Justifier que la valeur de
Q 21. Déterminer la distribution de masse volumique
Q 22. Tracer l'allure de cette distribution de masse volumique
III Composition chimique de la graine
Q 23. Préciser le type de liaison à l'origine de la cohésion du cristal de fer.
À pression atmosphérique, le fer existe à l'état solide sous plusieurs variétés allotropiques dont le fer
À pression atmosphérique, le fer existe à l'état solide sous plusieurs variétés allotropiques dont le fer
Q 24. Représenter la maille du réseau cubique à faces centrées. Déterminer et calculer la compacité de la maille.
Q 25. Déterminer le rayon atomique
À la pression régnant dans la graine (noyau interne), le fer cristallise dans une autre variété allotropique, appelée fer
La pression dans la graine varie entre 330 et 350 GPa et la température est au-delà de 5000 K . La technologie de la presse à cellule de diamant, couplée à un chauffage par laser, ainsi qu'à des ondes de chocs, permet de chauffer et comprimer un échantillon de fer pour le placer dans des conditions proches de celles régnant dans la graine (figure 5, à droite). L'échantillon est alors éclairé par un faisceau synchrotron de rayons X dont la diffraction renseigne sur sa structure cristalline, sa masse volumique et les vitesses des ondes mécaniques qui s'y propagent. Connaissant ces vitesses, on peut en déduire les modules élastiques
Figure 5 Gauche : représentation schématique de la maille hexagonale compacte. Droite : représentation schématique d'une enclume à diamants (source Wikipédia).
Q 26. En vous appuyant sur les résultats présentés à la figure 6, ainsi que sur les profils de masse volumique et de vitesses prévus par le modèle PREM en figure 3, montrer que le noyau ne peut pas être constitué que de fer pur et que la prise en compte d'éléments plus légers est nécessaire.
Un élément dont le rayon atomique est proche de celui du fer pourra se substituer à ce dernier dans la maille pour former un alliage par substitution. Au contraire, un élément dont le rayon est assez petit pour venir se loger dans un site interstitiel vacant sans déformer la maille formera un alliage par insertion. Des éléments satisfaisant à ces conditions présenteront une forte affinité pour le fer solide.
Figure 6 À gauche, modules d'incompressibilité
D'autre part, les structures hexagonale compacte et cubique à faces centrées étant deux structures compactes, leurs sites interstitiels tétraédriques et octaédriques sont de mêmes dimensions.
On supposera que la phase haute pression est soumise à une pression isotrope. De fait, les paramètres de maille et les rayons atomiques sont réduits d'un même facteur. On raisonnera donc ensuite par commodité sur la maille à pression ambiante.
Hypothèse : lors de la cristallisation du noyau formant la graine, certains éléments légers seraient expulsés des cristaux de fer formés, ce qui enrichirait la base du noyau liquide en ces éléments légers
Q 27. Il est communément admis que le noyau est constitué d'environ
IV Aspects thermiques au sein du noyau de la Terre
On définit le flux géothermique moyen
- environ
correspondent au flux thermique initial : il est associé au refroidissement progressif du noyau profond qui libère sous forme thermique l'énergie (gravitationnelle et cinétique) accumulée pendant la phase d'accrétion initiale de la Terre; - environ
correspondent au flux thermique de différenciation, noté : c'est l'énergie libérée par la cristallisation du noyau externe liquide à l'interface avec la graine solide. - le reste, environ
, provient des désintégrations radioactives au sein du noyau (la teneur en éléments radioactifs y étant très faible).
L'étude dans cette partie sera intégralement effectuée en régime stationnaire de transferts thermiques.
IV.A - Transferts thermiques dans le noyau externe
Le noyau terrestre, constitué de la graine et du noyau externe, est assimilé à une masse sphérique. Le noyau externe est le siège de transferts thermiques modélisés uniquement par de la conduction thermique avec une conductivité thermique, notée
Figure 7 Schématisation du noyau terrestre.
Q 28. Exprimer le flux thermique
Q 29. Expliquer pourquoi il est raisonnable de considérer ce flux thermique indépendant de
Q 30. Estimer la valeur de la conductivité thermique
Des mesures sur le fer liquide et ses alliages envisagés pour la constitution du noyau externe, effectuées dans ses conditions de température et de pression élevées, fournissent des valeurs de conductivité thermique d'au plus
Des mesures sur le fer liquide et ses alliages envisagés pour la constitution du noyau externe, effectuées dans ses conditions de température et de pression élevées, fournissent des valeurs de conductivité thermique d'au plus
Q 31. Conclure à propos des mécanismes de transfert thermique réels dans le noyau externe.
IV.B - Croissance de la graine
Le noyau se refroidissant, la graine voit son rayon croître très lentement par cristallisation du liquide à sa surface.
On considère, dans le noyau externe, une pellicule sphérique d'épaisseur d
On considère, dans le noyau externe, une pellicule sphérique d'épaisseur d
On estime actuellement que le taux de croissance du rayon de la graine est
Q 32. Montrer que le taux de croissance de la graine s'écrit
Q 32. Montrer que le taux de croissance de la graine s'écrit
où
Q 33. En déduire une estimation de la valeur de
V Coefficient de partage et type de volcanisme
Les magmas sont issus de la fusion partielle des roches du manteau, qui conduit à la formation d'un premier magma appelé magma primaire. Celui-ci cristallise par un refroidissement lent dans la chambre magmatique alimentant un volcan (figure 8). Lors de la cristallisation, les éléments chimiques se répartissent entre la phase solide en formation et la phase liquide, selon leur compatibilité avec les réseaux cristallins des solides formés. Ainsi, les minéraux cristallisent graduellement en quittant le liquide magmatique résiduel et modifient localement sa composition chimique : on parle de différenciation du magma par cristallisation fractionnée.
V.A - Loi de Rayleigh
On propose de caractériser ce processus de cristallisation par le modèle suivant : on étudie l'évolution de la masse de liquide lors de l'étape de cristallisation ayant lieu entre
Figure 8 Magnétisme et volcanisme. D'après Wikipédia.
Figure 9 Processus de cristallisation entre
dans la phase liquide à
On note
Q 34. Exprimer
On utilise la notion de coefficient de partage solide-liquide de l'élément
On note
Q 35. En traduisant la conservation de la matière totale, puis la conservation de l'élément
où on exprimera
V.
Dans la suite de cette partie, on veut valider l'hypothèse que le magma actif dans la formation des volcans de la Chaine des Puys, près de Clermont-Ferrand, suit effectivement un processus de cristallisation fractionnée.
Le volcanisme lié à la Chaine des Puys a débuté il y a environ 100000 ans et a présenté quatre périodes majeures : entre -100000 et -90000 ans ; entre -75000 et -70000 ans ; entre -45000 et -30000 ans et entre -13500 et -9000 ans. On dispose d'un ensemble d'échantillons de roches volcaniques éjectées lors de ces
périodes d'activité, chacune étant donc relative à un stade plus ou moins avancé de différenciation du magma au moment de l'éruption. Le Rubidium (Rb) et le Thorium (Th) sont présents à l'état de traces dans les liquides et les roches magmatiques. Ils se caractérisent par une forte affinité pour le liquide magmatique dans lequel ils forment des structures très stables et, au contraire, sont incompatibles avec la plupart des mailles cristallines. Leurs coefficients globaux de partage dépendent peu de la nature des phases minérales du solide qui cristallise. Il est d'autre part possible de doser la teneur en Rb et Th dans des échantillons de roches. Les résultats sont présentés dans le tableau 1.
périodes d'activité, chacune étant donc relative à un stade plus ou moins avancé de différenciation du magma au moment de l'éruption. Le Rubidium (Rb) et le Thorium (Th) sont présents à l'état de traces dans les liquides et les roches magmatiques. Ils se caractérisent par une forte affinité pour le liquide magmatique dans lequel ils forment des structures très stables et, au contraire, sont incompatibles avec la plupart des mailles cristallines. Leurs coefficients globaux de partage dépendent peu de la nature des phases minérales du solide qui cristallise. Il est d'autre part possible de doser la teneur en Rb et Th dans des échantillons de roches. Les résultats sont présentés dans le tableau 1.
|
|
5,21 | 6,52 | 6,81 | 8,51 | 12,8 | 13,5 | 15,8 | 17,9 | 21,3 | 22,1 |
|
|
37,5 | 46,7 | 47,8 | 57,1 | 90,6 | 90,9 | 110 | 130 | 152 | 157 |
Tableau 1 Extrait des données relatives à l'évolution de la fraction massique en Rb en fonction de celle en Th en parties par million (ppm) dans différents produits volcaniques de la Chaine des Puys.
D'après Villemant B., 1985. La différenciation des séries volcaniques : géochimie des éléments tracés dans les séries du Massif Central et d'Italie centrale. Thèse de doctorat. Université Paris VI.
D'après Villemant B., 1985. La différenciation des séries volcaniques : géochimie des éléments tracés dans les séries du Massif Central et d'Italie centrale. Thèse de doctorat. Université Paris VI.
On suppose que le résultat de mesure est bien décrit par une variable aléatoire de densité normale avec une incertitude-type sur les fractions massiques de la forme
Les produits volcaniques éjectés lors d'une éruption sont représentatifs de la composition du liquide magmatique dont ils sont issus à un moment donné dans l'histoire de la différenciation de ce liquide.
Q 36. Montrer que, pour deux éléments
On se propose d'utiliser une procédure Monte-Carlo pour valider l'hypothèse d'un processus de cristallisation fractionnée. Le code en langage Python correspondant est fourni en annexe 1 ; des informations complémentaires sont précisées en annexe 2.
Q 37. Décrire en quelques lignes le principe d'une simulation Monte-Carlo en faisant le lien avec les variables A , X , a et u_a du code proposé en annexe 1 . On commentera en particulier précisément le rôle des lignes 25,36 et 38 .
On obtient après une exécution du code Python de l'annexe 1 dans l'interpréteur l'affichage suivant :
La pente a est 0.1386273960033664 d'incertitude-type 0.0049036710758989
L'ordonnée à l'origine b est 0.2983346169365785 ppm d'incertitude-type
0.3494478625397468 ppm
On obtient également le graphique de la figure 10 où l'incertitude élargie à
Figure 10 Tracé de
Q 38. Expliquer en quoi ce résultat permet de conclure sur la validation de l'hypothèse de processus de cristallisation fractionnée.
V.
Une fois ce processus de cristallisation fractionnée validé, on cherche désormais à décrire le type de volcanisme (explosif ou effusif) de la Chaine des Puys.
Les premiers cristaux à se former dans la chambre magmatique sont les olivines, qui sont riches en magnésium et en fer, et pauvres en silice. Les cristaux d'olivine se séparent du liquide magmatique, ce qui l'appauvrit en magnésium et en fer et l'enrichit en silice.
Pour les volcans soumis à des processus de cristallisation fractionnée, le magma se différencie en s'enrichissant progressivement en silice, ce qui fait augmenter sa viscosité. Au contraire, les magmas qui ne suivent pas ce processus ont des viscosités qui restent faibles. D'autre part, en profondeur, le magma à haute pression peut contenir de grandes quantités de gaz, sous forme dissoute, qui vont former des bulles de gaz lors de la remontée du magma. Pour les volcans de la Chaine des Puys, les magmas sont très riches en gaz dissous.
On distingue typiquement deux grands types d'éruptions :
- les éruptions de type hawaiien, effusives, où la lave s'écoule progressivement à partir du cratère ;
- les éruptions de type strombolien qui se caractérisent par une dynamique éruptive explosive produisant des coulées pyroclastiques dévastatrices (on parle de nuées ardentes comme celle qui ravagea Pompéi en 79 après J.C. lors d'une éruption du Vésuve). La figure 11 montre une nuée ardente observée sur les pentes du Stromboli.
Figure 11 Éruption de type strombolien (source : Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia).
Figure 12 D'après Parfitt E. A., Wilson L., 1995. Explosive volcanic eruptions-IX.
The transition between Hawaiian-style lava fountaining and Strombolian explosive activity. Geophysical Journal International. Vol. 121, n
The transition between Hawaiian-style lava fountaining and Strombolian explosive activity. Geophysical Journal International. Vol. 121, n
Q 39. En exploitant la figure 12, décrire précisément les caractéristiques du magma (taille des bulles, vitesse de remontée du magma, abondance de gaz) pour les deux types d'éruptions (stromboliens et hawaiiens).
Q 40. En déduire le lien entre la viscosité et le caractère explosif ou effusif de l'éruption, puis à quel type de volcanisme se rattachent les volcans de la Chaine des Puys.
Formulaire et données
Formulaire
Le gradient en coordonnées sphériques s'écrit :
La divergence en coordonnées sphériques s'écrit :
Données
| Masse molaire du fer |
|
| Masse molaire du silicium |
|
| Masse molaire de l'oxygène |
|
| Numéro atomique du fer |
|
| Constante d'Avogadro |
|
| Constante universelle de gravitation |
|
| Rayon de la Terre |
|
| Masse de la Terre |
|
Rayons atomiques à pression et température ambiantes:
| Rayon atomique du nickel |
|
| Rayon atomique de l'oxygène |
|
| Rayon atomique du silicium |
|
Annexe 1 - Code Monte Carlo
# Importation des bibliothèques
import numpy as np # Commandes de calculs numériques
import numpy.random as rd # Commandes de générateurs aléatoires
import matplotlib.pyplot as plt # Commandes de tracés
# Liste des valeurs des fractions massiques w en Rb en ppm
Rb = [5.21, 6.52, 6.81, 8.51, 12.8, 13.5, 15.8, 17.9, 21.3, 22.1]
# Liste des valeurs des fractions massiques w en Th en ppm
Th = [37.5, 46.7, 47.8, 57.1, 90.6, 90.9, 110, 130, 152, 157]
# Régression linéaire
# Calcul de la pente et de l'ordonnée à l'origine
# de la droite w(Rb) = a*w(Th)+b
a, b = np.polyfit(Th, Rb, 1)
# Incertitude-types sur les fractions massiques en Rb et Th
u_Rb = [0.05*y/np.sqrt(3) for y in Rb]
u_Th = [0.05*x/np.sqrt(3) for x in Th]
NbreTirages = 10000
A, B = [], []
A_carre, B_carre = [], []
for j in range(NbreTirages):
X = []
for i in range(len(Th)):
x = rd.normal(Th[i], u_Th[i], 1)[0]
X.append(x)
Y = []
for k in range(len(Rb)):
y = rd.normal(Rb[k], u_Rb[k], 1) [0]
Y.append(y)
a, b = np.polyfit(X, Y, 1)
A.append(a)
A_carre.append(a**2)
B.append(b)
B_carre.append(b**2)
am = sum(A)/NbreTirages
bm = sum(B)/NbreTirages
u_a = np.sqrt(sum(A_carre)/NbreTirages-am**2)
u_b = np.sqrt(sum(B_carre)/NbreTirages-bm**2)
# Affichage des résultats de la modélisation
print("La pente a est", am, "d'incertitude-type", u_a)
print("L'ordonnée à l'origine b est", bm, "ppm d'incertitude-type", u_b, "ppm")
# Tracé des données avec incertitudes élargies et du modèle affine
plt.errorbar(Th, Rb, xerr=2*np.array(u_Th), yerr=2*np.array(u_Rb), capsize=3, fmt="o")
plt.plot([0, 170], [bm, am*170+bm], 'k--')
plt.axis([0, 170, 0, 25]) # Limites du tracé
plt.xlabel("w(Th) en ppm") # Légende des abscisses
plt.ylabel("w(Rb) en ppm") # Légende des ordonnées
plt.grid() # Grille
plt.show() # Affichage
Annexe 2 - Quelques fonctions et opérations Python disponibles
Fonctions :
- range(n) renvoie la séquence des n premiers entiers (de 0 à
); - np.sqrt(x) renvoie
.
Opérations sur les listes:
- len(L) donne le nombre d'éléments de la liste L ;
- L. append(e) ajoute l'élément e à la fin de la liste L ;
- L[i] renvoie le i-ième élément de la liste L;
- sum(L) renvoie la somme des éléments de la liste
.
Opérations sur les tableaux numpy (np.array) :
- len
: taille du tableau dans sa première dimension (nombre d'éléments pour un vecteur, nombre de lignes pour une matrice) ; - np.random.normal(a, u_a, N) renvoie un tableau unidimensionnel de taille
contenant valeurs aléatoires suivant une loi normale de valeur moyenne a et d'écart-type u_a; - np.polyfit(L1, L2, 1) renvoie un tuple contenant la pente et l'ordonnée à l'origine issues d'une modélisation affine des éléments de L2 en fonction de ceux de L1.
On rend compte de ce processus, comme dans la partie , par la notion de coefficient de partage des éléments légers entre les phases liquide et solide du fer, ce qui traduit l'affinité qu'a l'élément pour le fer solide ou le fer liquide.