Centrale Physique Chimie 1 TSI 2018

Dans le vingt-et-unième album de la série Les Aventures de Tintin, intitulé Les Bijoux de la Castafiore, cette dernière est en mesure de faire exploser un verre par la simple utilisation de sa voix. Le présent sujet se penche sur les aspects physiques de ce phénomène. Nous tenterons ainsi de déterminer les circonstances dans lesquelles il est effectivement possible de réaliser une telle prouesse et nous nous pencherons sur les rôles joués par les différents paramètres physiques susceptibles d'influer sur ces circonstances.
Ce sujet comporte un document réponse à rendre avec la copie. Ce document contient un texte sur le laser.
Conseils généraux et remarques

Il est extrêmement facile, en frappant un verre à pied, d'entendre le son que celui-ci émet. On se propose dans cette partie de déterminer, à partir d'une modélisation simple, quelques propriétés des oscillations libres d'un verre mis ainsi en vibration.

Un verre à pied, d'un diamètre de 12 cm , est frappé, à l'instant , au niveau du bord supérieur à l'aide d'un petit marteau. Le son émis est enregistré par ordinateur. Son analyse spectrale peut alors être réalisée à tout moment de l'enregistrement. Le microphone utilisé pour l'enregistrement présente une courbe de réponse en fonction de la fréquence donnée sur la figure 2.

La figure 3 représente le chronogramme de cet enregistrement et la figure 4 une analyse spectrale réalisée peu après le début de l'enregistrement. La figure 5 présente son analyse spectrale aux dates et .

Les «pics» représentés dans les analyses spectrales correspondent à des modes propres de vibration du verre.
Q 1. Que signifie la présence de modes propres dans le signal enregistré ? Comment peut-on les nommer ?
Q 2. Quelle est la fréquence du signal enregistré ?
Q 3. En limitant le raisonnement au bord supérieur du verre, estimer la vitesse de propagation de la déformation causée par le choc.

Q 4. Donner les fréquences des différents modes propres. Elles sont liées par une relation simple ; laquelle ?
Q 5. Quelle caractéristique de la courbe de réponse du microphone est essentielle pour réaliser un enregistrement et une analyse spectrale représentant correctement le phénomène étudié ?
Q 6. Quelle(s) autre(s) information(s) peut-on déduire des différentes analyses spectrales ?

Quand le verre est en vibration, son bord supérieur oscille autour de sa position au repos. Afin d'estimer le facteur de qualité du verre, on le modélise par une masse mobile sur l'axe ( ) horizontal associée à un ressort de raideur , de longueur à vide nulle (figure 6). Les frottements seront, quant à eux, modélisés par un frottement fluide de type où désigne le vecteur vitesse de la masse .
Q 7. Montrer que l'équation différentielle traduisant l'évolution temporelle de s'écrit de la façon suivante, avec et deux constantes que l'on exprimera en fonction de et :

Q 8. Quelle est la signification physique de et de ? Quelles sont les unités de ces deux grandeurs ?
Q 9. Compte tenu du choc initial avec le marteau, déterminer, dans le cas d'un frottement «faible», l'expression approchée de la solution avec les conditions initiales et . Représenter son allure.
Q 10. En quoi, l'enregistrement de la figure 3 est-il en accord à la modélisation par un frottement fluide ?
Q 11. Proposer, à partir de l'évolution temporelle du mode 1 sur les analyses spectrales, un ordre de grandeur du facteur de qualité .

Dans la suite de l'expérience, on va chercher à mettre en résonance le verre à l'aide d'une excitation sinusoïdale.
Q 12. Donner une estimation du temps nécessaire pour mettre le système en régime sinusoïdal forcé.

On souhaite étudier plus finement la réponse en amplitude du verre au voisinage de la fréquence de résonance du mode 1 précédemment déterminée.
Un hautparleur relié à un générateur basse fréquence produit une onde sonore sinusoïdale de fréquence . Le verre, placé à proximité du hautparleur (figure 7), est ainsi placé en régime sinusoïdal forcé.

L'équation différentielle traduisant l'évolution temporelle de est alors de la forme suivante, avec la pulsation et la phase du signal acoustique délivré par le générateur basse fréquence :

En régime sinusoïdal forcé, la solution est de la forme . Comme en électrocinétique, on introduit la grandeur complexe associée avec .
Q 13. Comment nomme-t-on la grandeur ? Que représente son module, son argument?
Q 14. Établir l'expression du module de en fonction de et .
Q 15. À partir d'une étude qualitative, justifier le numéro de graphe de la figure 8 compatible avec le tracé du module de en fonction de la pulsation .

Q 16. À quelle condition sur le facteur de qualité peut-on envisager une résonance d'amplitude ?
On note cette condition.
Q 17. Dans le cas d'une résonance d'amplitude, exprimer la pulsation correspondante, notée en fonction de et .

Dans la suite, on suppose .
Q 18. Quelle est alors l'expression de la pulsation de résonance ?
Q 19. On note le module de pour . Établir son expression en fonction de et .
Q 20. Définir les pulsations de coupure et du module de . Rappeler la relation liant et .

Le verre utilisé présente, en guise de décoration, une bande de dépôt métallique placée près du bord supérieur. Son rôle de miroir va permettre la réflexion d'une source lumineuse. Le verre est ici localement considéré plat dans le cadre de cette réflexion. Le dispositif réalisé va permettre la mesure des amplitudes de vibration par interférométrie.
La fente source monochromatique (perpendiculaire au plan de la figure), de longueur d'onde , est placée à la distance du plan du miroir afin que celui-ci soit utilisé sous incidence rasante. La distance source - bord droit du miroir est notée et la distance entre le miroir et l'écran (figure 9 ).

Q 21. Sur le schéma de la figure A du document réponse, représente l'image de la source à travers le miroir. À l'aide d'une construction géométrique, faire apparaitre sur l'écran le champ d'interférence.
Q 22. On considère un point d'abscisse , situé sur l'écran dans le champ d'interférence. En supposant que et , déterminer la différence de chemin géométrique entre un rayon issu de après réflexion sur le miroir (donc semblant venir de ) et un rayon issu directement de , au point . Sachant que lors d'une réflexion air - miroir il y a un déphasage supplémentaire de , exprimer la différence de chemin optique .
Q 23. Établir l'expression de l'interfrange .
Q 24. Le bord du verre, représenté par le miroir, est animé, en régime sinusoïdal forcé, d'un mouvement de translation dans la direction de l'axe ( ), d'équation . Déduire l'expression de l'évolution temporelle de l'interfrange en prenant en considération les paramètres de la vibration.
Q 25. Pour une valeur de donnée, l'interfrange peut prendre une infinité de valeurs comprises entre deux extrêmes notés et . Exprimer , amplitude des oscillations, en fonction de et .
Q 26. Dans l'expérience menée avec le verre, peut-on envisager de suivre à l'œil nu l'évolution de l'interfrange sur l'écran?
Afin de pouvoir réaliser des mesures dans de bonnes conditions d'observation, on met en œuvre une méthode de stroboscopie en utilisant le capteur d'image CMOS d'une caméra rapide dont la fréquence de prise des images est réglable jusqu'à 100 images par seconde. Le capteur est placé directement dans le champ d'interférence à la place de l'écran. On précise que la résolution du capteur CMOS (taille du pixel) est de .
Q 27. On cherche à observer une immobilité de la figure d'interférence sur l'image. Exprimer la(les) fréquence(s) de prise de vue possible(s) en fonction de la pulsation du générateur basse fréquence.
Q 28. Une fois l'immobilité apparente réalisée sur l'image, expliquer pourquoi la mesure de l'interfrange nécessite de pouvoir régler la phase du générateur basse fréquence.
Les images données figure 10, représentant un carré de 100 pixels de coté, ont été réalisées pour une pulsation proche de la résonance. Seule la phase du générateur basse fréquence est différente pour chacune d'entre elle.
Q 29. À partir d'une exploitation des images de la figure 10, estimer l'amplitude des oscillations du verre pour la pulsation .
Une série de mesure de l'amplitude au voisinage de la résonance permet de tracer le graphe représenté sur la figure 11.
Q 30. Déterminer, à partir de la figure 11, la fréquence de résonance et le facteur de qualité du verre dans son mode 1. Comparer ces résultats à ceux du II.A.
Q 31. Un générateur basse fréquence disponible au laboratoire présente les caractéristiques données dans le tableau ci-dessous. Est-il réaliste de pouvoir mettre en résonance le verre en utilisant celui-ci?

Compte tenu des résultats de la partie précédente, on se propose de mettre en résonance le verre en utilisant une boucle de rétroaction (figure 12). Cette solution présente l'avantage d'une très grande simplicité de montage.

Ce premier essai se solde en fait par un échec. Un effet Larsen (du nom de l'électro-acousticien danois Søren Absalon Larsen, 1871-1957) se met naturellement en place. Celui-ci se traduit par un sifflement très intense et très désagréable dans lequel le verre semble ne jouer aucun rôle, autrement dit semble être acoustiquement transparent. Nous allons ici étudier le mécanisme de cet effet Larsen, de façon à proposer une solution à ce problème.

Le hautparleur et le microphone, séparés d'une distance , délimitent une région de l'espace que l'on va appeler par la suite «cavité acoustique ». On note la vitesse de propagation des ondes sonores dans la cavité et on négligera tout phénomène d'amortissement de l'onde dans l'air.
Q 32. Expliquer brièvement le rôle de chaque élément et le principe de fonctionnement du montage de la figure 12.

Q 33. Quelle est la particularité de l'onde acoustique se propageant du hautparleur vers le microphone (figure 13) ? Proposer une expression de l'onde sonore émise par le hautparleur, en notant son amplitude, sa fréquence et la célérité du son.
Q 34. Dans l'hypothèse d'une transmission infiniment rapide du signal au travers de la partie électronique du montage ; expliquer pourquoi, afin de satisfaire les conditions aux limites de la cavité acoustique, la longueur d'onde du sifflement est nécessairement quantifiée. Soit : avec .
Une série de mesures des fréquences du sifflement en fonction de la distance est représentée sur la figure 14. Les points expérimentaux se répartissent sur des courbes hyperboliques.
Q 35. Établir l'équation des hyperboles avec que l'on exprimera en fonction des paramètres du problème.
Q 36. Estimer, à partir de la figure 14 les bornes inférieures et supérieures, notées respectivement et , des fréquences mesurées.
La question qui se pose ici concerne le fait que les points ne se situent pas sur une seule de ces courbes hyperboliques, mais semblent sauter d'une courbe à l'autre, lorsque la taille de la cavité acoustique augmente, de façon à rester dans une étroite plage de fréquences ( ). Il est permis de se demander si les caractéristiques du microphone jouent un rôle.

Le microphone électrostatique, dont la courbe de réponse est donnée figure 2, est constitué d'une membrane de surface , extrêmement légère de masse . Celle-ci, réalisée en métal (ou en polyester rendu conducteur par un saupoudrage de métal), est mobile et constitue l'une des armatures d'un condensateur plan. L'espace entre la membrane et l'armature fixe est entièrement rempli d'air de permittivité électrique . Au repos, la distance entre les deux armatures parallèles est notée . En mouvement, la liaison entre l'isolant et la membrane peut être modélisée par une force de rappel élastique de constante de raideur .
Les variations de pression provoquées par l'onde sonore font varier la distance entre les deux armatures par un déplacement de la membrane parallèlement à l'axe . Ce déplacement induit une variation de la capacité et cet effet est exploité dans le circuit électrique de la figure 15 de manière à récupérer le signal aux bornes de la résistance . Les variations de sont à l'image de celles de la pression acoustique.

La membrane et l'armature fixe sont chargées uniformément par les charges et . On associe à et les densités surfaciques uniformes de charges pour et pour . De plus, on assimile les deux plaques à des plans infinis afin de négliger par la suite les effets de bord.

Q 37. Montrer, par des considérations de symétrie et d'invariance, que le champ électrique créé par la plaque en tout point de l'espace est perpendiculaire à ce plan et ne dépend que d'une variable d'espace.
Q 38. Justifier que où et sont deux points placés symétriquement par rapport au plan .
Q 39. En appliquant le théorème de Gauss sur une surface clairement indiquée, exprimer le champ électrique .
Q 40. Déduire du résultat précédent l'expression du champ électrique total créé par les deux plaques et en tout point de l'espace.
Q 41. Montrer que la différence de potentiel entre les deux plaques s'exprime par avec , la capacité du condensateur au repos.

En raison d'une surpression sinusoïdale de pulsation , la membrane mobile oscille autour de sa position d'équilibre selon l'équation avec l'amplitude du déplacement .
Q 42. À l'aide d'un développement limité, montrer que la capacité du condensateur s'exprime par . Préciser l'expression de en fonction de et .
Q 43. On note la tension aux bornes de la résistance et la tension de polarisation du condensateur. Établir la relation liant et .
Q 44. En déduire, en précisant les approximations faites, l'équation différentielle traduisant l'évolution temporelle de la tension sous la forme , avec et .
En régime sinusoïdal forcé, la solution est de la forme .
Q 45. Exprimer l'amplitude en fonction de et .
Q 46. Montrer, qu'en dessous de 10 kHz , le graphe en fonction de est compatible avec la réponse relative du microphone en fonction de la fréquence donnée figure 2.
Q 47. Estimer alors l'ordre de grandeur de .
Le modèle étudié précédemment ne prend pas en considération le couplage électromécanique du système dans les hautes fréquences. Celui-ci, devient prépondérant au-delà de 10 kHz , la réponse du microphone présente alors une résonance causée par les oscillations de la membrane au voisinage de sa position d'équilibre.
Q 48. Donner un ordre de grandeur de .
Q 49. Expliquer pourquoi le microphone utilisé ne peut pas être à l'origine de la sélection des fréquences de l'effet Larsen étudié.

Le hautparleur représente l'autre élément important de la cavité. Afin d'analyser son influence, un générateur basse fréquence l'alimente avec une tension . Le microphone précédemment étudié est utilisé comme capteur, un voltmètre mesure directement la tension efficace aux bornes de celui-ci (figure 16). Le relevé des mesures est représenté sur la figure 17 .

Q 50. À quel type de filtre peut-on assimiler le hautparleur ? Évaluer, à partir de la figure 17, les fréquences de coupure du filtre notées et .
Q 51. En quoi les caractéristiques du hautparleur sont elles compatibles avec les mesures des fréquences du sifflement en fonction de la distance représentées sur la figure 14 ? Conclure.
La cavité acoustique présente de grandes similitudes avec le fonctionnement du laser dont une documentation est fournie dans le document réponse. Dans la cavité acoustique de longueur , les longueurs d'onde du sifflement sont quantifiées de manière à respecter . Dans la cavité laser de longueur , cette quantification se traduit par une relation très semblable mis à part un facteur .
Q 52. Quelle propriété de l'onde lumineuse dans la cavité laser justifie cette différence ?
Q 53. Représenter sur la figure du document réponse présentant le profil de réponse du hautparleur, le spectre des fréquences possibles pour une longueur de cavité acoustique . La vitesse du son dans l'air sera prise égale à .

Q 54. Comment justifier la présence des deux points expérimentaux, correspondant à cette distance, signalés par une ligne en pointillés sur la figure 14.
Q 55. Expliquer, de manière concise, comment les fréquences de l'effet Larsen passent d'une hyperbole à l'autre quand la distance de la cavité acoustique augmente.

Rappelons, pour prendre un exemple courant dans les salles de travaux pratiques, que le laser hélium-néon (He-Ne) est réalisé à partir d'une cavité optique contenant un mélange gazeux essentiellement constitué de néon ( ) et d'hélium ( ).

L'émission laser de longueur d'onde dans le vide résulte de la transition entre deux niveaux d'énergie du néon et . Par des décharges électriques, on excite les atomes d'hélium dans un niveau d'énergie très proche de l'état du néon. Les collisions entre atomes de néon et d'hélium permettent un transfert d'énergie entre ces atomes, ce qui permet de maintenir une population constante d'atomes de néon dans l'état .

La cavité optique réalisée par deux miroirs parallèles séparés par une distance est un résonateur à fréquences multiples pour les ondes lumineuses associées aux photons.

La cavité sélectionne les fréquences possibles telles que : , soit avec la vitesse de la lumière.

La sélection des fréquences se fait par le profil de raie d'émission des atomes. On obtient ainsi une source quasi monochromatique de lumière (plusieurs radiations de fréquences voisines peuvent coexister dans le faisceau).