Centrale Physique Chimie 1 TSI 2017

Le gaz naturel est un combustible fossile présent naturellement dans les roches poreuses du sous-sol et généré à partir de la sédimentation de matière organique vieille de plusieurs millions d'années. Utilisé comme source d'énergie, le gaz est composé principalement d'hydrocarbures : principalement du méthane mais aussi du propane ( ), du butane ( ), de l'éthane ( ) et du pentane ( ).
Environ de la demande française de gaz naturel est satisfaite grâce aux importations, la Norvège étant le premier fournisseur de la France. Ainsi, la production française de gaz naturel représente environ de la consommation, mais certains gisements restent inexploités.
Une liste de données numériques et un formulaire sont fournis à fin du sujet (page 7). Ces éléments sont suivis de quatre annexes.

Le 19 décembre 1951 à 8 heures du matin, l'équipe de forage ne découvre pas, sur le sondage Lacq 3, du pétrole, mais du gaz. Il jaillit d'un réservoir situé à de profondeur, à la très forte pression de bar et à la température de . Le débit est important, jour . Il faudra cinq jours et quatre nuits aux spécialistes pour maitriser l'éruption. Le trophée est de taille : Lacq s'avère un gisement de gaz naturel géant avec une réserve de quelque 262 milliards de mètres cubes de gaz naturel.
La composition molaire «principale» du gaz brut de Lacq était de de méthane d'hydrogène sulfuré de dioxyde de carbone d'éthane et de propane . Le tableau 1 donne certaines grandeurs physico-chimiques relatives aux différents constituants.

I.A.1) Représenter le diagramme ( ) d'un corps pur dans le cas général en y indiquant les différentes phases, les points particuliers avec leur signification.
I.A.2) Que dire de la densité du fluide présent dans ce réservoir ?
I.A.3) En réalité, le débit d'éjection des gaz diminue au cours du temps. Proposer une explication.

Pour répondre à certaines questions de cette sous-partie I.B, il sera nécessaire d'exploiter tout ou partie des documents des annexes 1, 2 et 3 .
Posé en doublement de la première canalisation «artère des Hauts de France » et mis en service en 2016, le gazoduc cylindrique en acier de 191 km «artère des Hauts de France II » est découpé en deux tronçons :

Ce gazoduc achemine le gaz fourni par le terminal méthanier de Dunkerque et irrigue au passage des grandes agglomérations urbaines avec un débit volumique mesuré à sous la pression bar. Le gaz circule avec une vitesse moyenne et de façon supposée isotherme à la température .
I.B.1) En supposant que le gaz circule dans les deux canalisations avec une vitesse moyenne de , calculer , le débit volumique moyen de gaz dans la canalisation entre Loon-Plage et Pitgam et , le débit volumique moyen dans la canalisation entre Pitgam et Cuvilly.
Le gaz véhiculé est du gaz naturel dont la composition est variable. Le maitre d'ouvrage indique qu'il est composé essentiellement de méthane (entre 85 et ), d'éthane (entre 2 et ), d'hydrocarbures plus lourds et d'azote en faible quantité. Il contient également quelques traces de composés soufrés et un odorisant. Pour simplifier, on considérera dans toute la suite que le gaz véhiculé a une composition molaire de de méthane et d'éthane. Quelques caractéristiques de ces deux composés sont indiquées dans le tableau 2.

I.B.2) Peut-on assimiler le gaz naturel acheminé dans «artère des Hauts de France II» à un gaz parfait ? On attend une réponse qualitative.
I.B.3) En utilisant l'annexe 1, montrer, en explicitant la démarche, que la masse volumique du gaz naturel à l'entrée du gazoduc à Loon-Plage est environ égale à . Justifier quantitativement qu'il n'est pas possible d'étudier l'écoulement du gaz naturel comme s'il était composé uniquement de méthane.
I.B.4) Déterminer également la masse volumique du gaz naturel à sous pression atmosphérique bar. Dans ces conditions, on assimilera le gaz à un gaz parfait.
I.B.5) Dans le gazoduc, il existe une perte de charge régulière. Expliquer ce que cela signifie.

Dans la suite du problème, les pertes de charge seront exprimées en pascal.
I.B.6) Si et désignent les pressions aux extrémités du gazoduc étudié de longueur et de diamètre , on admet que

Dans cette formule, est «le coefficient de perte de charge» présenté notamment en annexe 3.
En utilisant les annexes 1 et 2 , montrer, en explicitant la démarche, que la viscosité du gaz naturel à la température de et sous une pression de l'ordre de 90 bar est environ égale à . Estimer alors le nombre de Reynolds (présenté en annexe 3) relatif à l'écoulement et montrer que la pression du gaz en sortie de la première canalisation au niveau de la station de Pitgam est de l'ordre de 93 bar. Quelle est alors la perte de charge linéique dans cette canalisation ?
I.B.7) On admet que la pression de sortie (à Cuvilly) dans la canalisation menant le gaz naturel de Pitgam à Cuvilly est égale à 76 bar. Déterminer la perte de charge linéique associée. Quelle aurait été cette perte de charge linéique si cette canalisation avait pour diamètre 900 mm ? Commenter.

I.C.1) À Pitgam, une faible quantité d'un composé soufré particulièrement odorant, le tétrahydrothiophène ou THT est injecté dans le gaz naturel provenant du terminal méthanier de Dunkerque ayant circulé dans l' «artère des Hauts de France II ». Pourquoi?
I.C.2) Le THT est un composé cyclique de formule brute . Représenter son schéma de Lewis sachant que les numéros atomiques des éléments carbone, hydrogène et oxygène sont respectivemet 6,1 et 8 et que l'élément soufre est situé juste sous l'élément oxygène dans la classification périodique.

Le 8 juillet 2016 le terminal méthanier de Dunkerque fut réellement mis en service avec l'arrivée du premier méthanier le Madrid Spirit, battant pavillon espagnol, en provenance du Nigéria, qui a déchargé de gaz naturel liquéfié (GNL). Ce terminal recevra ensuite le GNL de Norvège, premier importateur de gaz naturel en France.
Pour répondre à certaines questions de cette partie II, il sera nécessaire d'exploiter le diagramme de l'annexe 4 .

II.A.1) En exploitant le diagramme de l'annexe 4, montrer que pour condenser totalement du gaz naturel assimilé à du méthane gazeux pur à la pression de 1 bar, il faut se placer à une température d'environ .
II.A.2) Quel est alors le volume massique du GNL ?
II.A.3) Expliquer en quoi le transport du gaz naturel sous forme GNL constitue une bonne alternative au transport par gazoducs ?

On désire étudier le procédé de Linde de liquéfaction du méthane, utilisé par exemple dans l'usine de Snøhvit en Norvège, schématisé figure 1 avec les différents états du fluide numérotés de 0 à 10 , permettant d'obtenir un débit massique de méthane liquide saturant à la pression bar à une température (état 10).

Pour cela, on introduit un débit massique de méthane gazeux à la température et à la pression (état 0 ). Trois compresseurs et fonctionnant de façon adiabatique et réversible, solidaires d'un même arbre entrainé sans perte par un moteur , ainsi que trois échangeurs de chaleurs isobares (systèmes de refroidissement) et permettent d'obtenir en l'état 7 du gaz à la pression bar et à la température . Les pressions intermédiaires sont égales à bar et bar. L'enthalpie massique du fluide dans l'état 3 est et dans l'état .
Un régénérateur , échangeur thermique globalement calorifugé et fonctionnant de façon réversible, permet de refroidir le gaz comprimé non plus à mais à (état 7 bis). Ce gaz refroidi est détendu isenthalpiquement de 100 bar à 1 bar par le détendeur jusqu'à l'état diphasé 8 de titre massique en vapeur .
Les phases liquide et gazeuse sont séparées dans le séparateur isobare . La vapeur saturante sèche sortant du séparateur est recyclée dans le régénérateur . Mél est un mélangeur globalement calorifugé, sans partie mobile et fonctionnant de façon isobare. La pression en 1 vaut donc bar.
On se place en régime permanent d'écoulement. On négligera toute variation d'énergie mécanique du fluide.
II.B.1) On note respectivement les débits massiques de fluide et aux états 1 et 1bis. En utilisant le titre massique en vapeur dans le séparateur, établir une relation entre et . Après avoir traduit la conservation du débit massique au niveau du mélangeur, déterminer les valeurs des débits massiques et .
II.B.2) Déterminer graphiquement les enthalpies massiques aux états 7 ( bar et ), 7bis ( ) et 9 respectivement notées et . En effectuant un bilan énergétique au niveau du régénérateur globalement calorifugé et ne comportant pas de partie mobile, déterminer l'enthalpie massique .
II.B.3) On admet qu'au niveau du mélangeur Mél, il y a conservation du débit d'enthalpie ce qui se traduit par la relation où et désignent alors respectivement l'enthalpie massique du fluide dans l'état 0,1 et 1 bis. Calculer .
II.B.4) La transformation au niveau du compresseur étant supposée isentropique, déterminer graphiquement la valeur de l'enthalpie massique à l'état 2 . En déduire la puissance fournie par le moteur au compresseur . On commencera par positionner le point 1 sur le diagramme.
II.B.5) La puissance totale délivrée par le moteur est égale à , quel type de machine motrice peut délivrer une telle puissance ?

Afin de garantir leur fonctionnement, les gazoducs sont régulièrement inspectés et nettoyés. On place alors dans les gazoducs des robots intelligents capables de les nettoyer en raclant les éventuelles impuretés.
Dans cette partie, on se propose d'analyser une méthode très simple qui pourrait permettre de détecter a priori la présence et la position d'un obstacle dans un gazoduc rectiligne de longueur connue. Pour que la méthode puisse fonctionner, il faut faire du gazoduc une cavité sonore résonante. On se propose tout d'abord de faire une analogie avec une cavité résonante électromagnétique. Aucune connaissance sur les ondes sonores n'est requise.

Soit une cavité vide taillée à l'intérieur d'un conducteur parfait, entre les abscisses et (figure 2). Un émetteur électromagnétique engendre en continu une onde électromagnétique arrivant en incidence normale sur la face d'équation .

On cherche le champ électrique dans la cavité sous forme .
III.A.1) Donner la valeur du champ électrique dans un conducteur parfait.
III.A.2) Établir, à partir des équations de Maxwell, l'équation différentielle vérifiée par . Comment appelle-t-on ce type d'équation?
III.A.3) Déterminer l'expression générale de la fonction en fonction de et en introduisant deux constantes que l'on ne demande pas de préciser dans cette question.
III.A.4) En utilisant, la relation de passage donnée dans le formulaire et appliquée aux deux interfaces métal/vide, déterminer l'expression explicite de en fonction de l'amplitude du champ électrique, et d'un entier naturel non nul . Quelle est la nature de l'onde obtenue?
III.A.5) Déterminer la longueur d'onde du mode ainsi que sa fréquence.
III.A.6) Quelle distance sépare deux nœuds relatifs au champ électrique pour le mode ?
III.A.7) Décomposer le champ électrique du mode en deux ondes planes progressives monochromatiques que l'on explicitera. Interpréter.

On place un haut-parleur, alimenté par une tension sinusoïdale de pulsation , à l'extrémité d'un gazoduc fermé de longueur contenant de l'air de masse molaire , de masse volumique , à la température et à la pression . On notera le rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant de l'air. On suppose que le régime permanent s'installe instantanément. L'ensemble est à symétrie de révolution d'axe , l'origine étant prise sur la membrane du haut-parleur lorsqu'il n'est pas alimenté.
La membrane du haut-parleur a un mouvement de translation rectiligne sinusoïdal suivant l'axe ( ), d'amplitude très faible, à la vitesse .
On modélise le dispositif comme indiqué figure 3. La membrane du haut-parleur, assimilée à un disque d'aire , est reliée élastiquement au bâti par un ressort de rappel de constante de raideur exerçant une force sur la membrane lorsqu'elle est située en . La membrane est solidaire d'une tige métallique de longueur pouvant évoluer sans frottement en translation rectiligne parallèlement à ( ) sur deux rails métalliques. L'ensemble baigne dans un champ magnétostatique uniforme et stationnaire . L'inductance du circuit est , sa résistance est . En dehors de l'action des forces de pression, l'amortissement de la
membrane est modélisé par une force de frottement fluide . Lorsque le haut-parleur est alimenté par un générateur de force électromotrice , un courant d'intensité circule dans le circuit. La masse de l'ensemble {membrane + tige} est notée .

On admet que l'équation de propagation d'une onde sonore dans l'air est et que la relation entre la vitesse d'une particule mésoscopique d'air dans le gazoduc et la pression est donnée par . En l'absence d'onde sonore, la pression de l'air dans la conduite est notée .
III.B.1) L'extrémité du gazoduc située en est supposée parfaitement réfléchissante. On montre que la pression associée à l'onde sonore s'écrit alors , où est la célérité des ondes sonores dans l'air.
a) Donner l'expression de la célérité des ondes sonores dans l'air en fonction de et .
b) Trouver la relation reliant et .
c) Déterminer l'expression de la vitesse d'une particule mésoscopique d'air et vérifier que les conditions aux limites en et sont satisfaites.
III.B.2) Du fait de la réception de l'onde réfléchie en , le haut-parleur est « perturbé » : son impédance va être modifiée et c'est sa mesure qui va être intéressante comme on va le montrer grâce aux questions suivantes.
a) En supposant, pour simplifier, que la pression de l'air reste égale à à gauche de la membrane, déterminer l'expression littérale de la résultante des forces de pression exercée par l'air sur la membrane.
b) Établir l'équation mécanique (M) relative au fonctionnement du haut-parleur.
c) Établir l'équation électrique (E) relative au fonctionnement du haut-parleur.
d) On définit l'impédance complexe du haut-parleur par le rapport . Montrer que

e) La figure 4 donne l'allure de la courbe représentant en fonction de la fréquence . Commenter et interpréter : en quoi cette étude peut être utile à la détection d'un obstacle dans le gazoduc ?
III.B.3) L'expérience a été réalisée très simplement en laboratoire de lycée avec un tube en PVC, isolé avec de la laine de verre et du liège, un haut-parleur à l'une des extrémités et une paroi escamotable à l'autre permettant de faire varier la longueur du tube. Des photos du matériel sont représentées figure 5.
Comme l'impédance d'un haut-parleur reste généralement inférieure à (sauf aux fréquences très élevées), on réalise le montage schématisé figure 6 contenant une résistance .
a) Expliquer comment les mesures données par les deux voltmètres permettent de calculer .
b) Pour un tube de longueur donnée, on obtient la courbe de la figure 7 aux basses fréquences. Commenter, interpréter puis déterminer .
c) En réalité, on a réglé la paroi escamotable de façon à avoir . Commenter cette valeur en lien avec le résultat de la question précédente.

Constante des gaz parfaits
Perméabilité magnétique du vide
Permittivité diélectrique du vide
Célérité des ondes sonores dans l'air

Les industriels comparent souvent l'état du gaz naturel à celui d'un gaz parfait : on admet que l'équation d'état du gaz naturel s'écrit où désigne sa masse volumique ( ), sa pression (en Pa ), sa masse molaire (en ), sa compressibilité (sans dimension), la constante des gaz parfaits et sa température absolue (en K). La compressibilité d'un mélange gazeux à la température et sous la pression contenant plusieurs gaz de fraction molaire respective , de température critique et de pression critique peut se déterminer à l'aide de l'abaque de Standing et Katz où représente la pression pseudo-réduite et la température pseudo-réduite du mélange.

On admet qu'à pression bar et , la viscosité dynamique d'un mélange gazeux peut être estimée à partir de celle des corps pur selon la relation . Dans cette formule, et désignent respectivement la fraction molaire, la viscosité dynamique (à bar et ) et la masse molaire du corps pur présent dans le mélange.
On admet aussi que l'abaque de Carr ci-après permet d'obtenir la viscosité dynamique d'un gaz naturel sous pression en fonction de sa pression réduite et de sa température réduite ; ces deux dernières grandeurs étant identiques respectivement à la pression pseudo-réduite et la température pseudo-réduite définies dans l'annexe 1.

le coefficient de perte de charge, est relié :

On détermine grâce à l'abaque de Moody ci-dessous.