Centrale Physique 2 PC 2009

Le ruissellement d'eau sur une surface est un phénomène très courant (Partie I) qui joue un rôle essentiel dans la formation de stalactites. Ainsi, sur la voûte d'une grotte où ruisselle une eau chargée en carbonate de calcium, des concrétions de calcaire appelées stalactites peuvent se former et croître à partir de la voûte (cf. figure 1) par précipitation du carbonate de calcium selon la réaction chimique :

La croissance de la stalactite est pilotée par la diffusion du dioxyde de carbone rejeté par la solution dans l'atmosphère (Partie II).
De même lorsque de l'eau de pluie ruisselle en hiver sur un garde-corps, on observe souvent la formation de stalactites de glace (figure 2). Après avoir étudié les conditions nécessaires à leur formation (Partie III) on étudie leur croissance pilotée par la diffusion thermique (Partie IV) et enfin on tente d'interpréter les ondulations de leur surface (Partie V).
Dans tout le problème, le référentiel terrestre est supposé galiléen, est un vecteur-unitaire orienté selon la verticale descendante et le champ de pesanteur est uniforme avec . On prendra garde à ne pas confondre et le vecteur unitaire qui est introduit dans certaines parties pour repérer la direction perpendiculaire à l'écoulement.

On étudie dans un premier temps un écoulement incompressible et stationnaire d'eau (masse volumique et viscosité dynamique uniformes et constantes) sur un plan incliné faisant un angle avec l'horizontale (cf. figure 3 ). On note l'épaisseur du film liquide à l'abscisse , supposée uniforme et constante et on cherche un champ des vitesses de la forme . On rappelle l'équation de Navier-Stokes qui pilote l'écoulement :

I.A.1) Montrer que ne dépend pas de . Comment se simplifient alors les expressions de et de ?
I.A.2) Expliciter la projection de l'équation de Navier-Stokes sur et en déduire l'expression de la pression en fonction de et de la pres-

sion imposée par l'atmosphère à l'interface liquide-air.
I.A.3) Établir l'équation différentielle dont est solution et en déduire son expression en fonction de de la viscosité cinématique et de deux constantes d'intégration.
I.A.4) Quelle est la condition aux limites imposée par le plan incliné en ? On néglige la viscosité de l'air. En considérant un élément de surface de l'interface eau-air sans masse, justifier la condition aux limites :

I.A.5) Achever la détermination de en fonction de et .
I.A.6) En déduire que le débit volumique pour une profondeur selon vaut:

Filière PC

On étudie désormais l'écoulement d'eau le long d'une stalactite réelle d'axe et de rayon pour laquelle on peut définir un angle local (cf. figure 4) sur des échelles de temps telles que la croissance de la stalactite est imperceptible : et ne dépendent pas du temps.
Du fait que « et que et varient doucement avec , on peut exprimer le débit volumique à travers le plan de cote à l'instant en utilisant l'expression (1) établie en I.A.6) en y remplaçant par .
I.B.1) À quel endroit de la stalactite l'expression de ainsi obtenue est-elle erronée?
I.B.2) Le débit en haut de la stalactite est supposé indépendant du

temps. Proposer une méthode de mesure expérimentale de .
I.B.3) Montrer que l'épaisseur du film est de la forme :

où est une longueur caractéristique qu'on exprimera en fonction de . I.B.4) Pour une stalactite de calcaire on prend , et . La viscosité cinématique de l'eau vaut .Calculer et la vitesse moyenne définie comme la vitesse d'un écoulement uniforme qui aurait le même débit volumique.
I.B.5) Expliciter un nombre de Reynolds associé à cet écoulement en adoptant comme distance caractéristique. Le calculer numériquement avec les valeurs de la question I.B.4. Commenter.
I.B.6) Le modèle n'est valable que si . Quelle condition numérique en déduit-on sur ?

Pour toute cette partie, on adopte les valeurs caractéristiques suivantes, données en ordre de grandeur pour la stalactite étudiée :

II.A.1) Justifier qu'on peut négliger le mouvement de l'eau lors de l'étude de la diffusion d'une espèce chimique dans le film liquide en évaluant numériquement le temps de diffusion des espèces chimiques dans l'épaisseur de film liquide et le temps nécessaire pour que l'eau parcoure la stalactite de la base à la pointe.
II.A.2) Justifier qu'on peut supposer le régime de diffusion stationnaire en comparant et la durée nécessaire pour que la stalactite croisse d'une longueur égale à l'épaisseur du film.
II.A.3) On admet dans cette question que l'allongement de la stalactite équivaut formellement à l'ajout d'un disque de à sa base. Estimer la masse de (de masse volumique ) déposée par siècle, puis la masse de calcium correspondante. On donne le rapport des masses molaires .
Si on suppose que la concentration moyenne en ions est de pour l'eau qui ruisselle sur la stalactite, trouver en ordre de grandeur la proportion d'ions calcium qui précipite. Commenter en liaison avec la présence de stalagmites sous les stalactites.
II.A.4) Compte tenu de la faible épaisseur du film d'eau, on adopte un modèle de diffusion plane (cf. figure 5): le système est contenu dans un cylindre d'axe et de section droite et le nombre de molécules de par unité de volume, est indépendant de et . Le carbonate de calcium

solide occupe le domaine , l'eau le
domaine et l'air le domaine . Dans la solution aqueuse, la réaction de précipitation de engendre une production de telle que le nombre de molécules de créé dans une tranche d'épaisseur pendant une durée vaut:

où est une durée liée à la cinétique de la réaction de précipitation (en ordre de grandeur et une concentration liée à et au qu'on peut raisonnablement supposer constante d'après l'étude de la question II.A.2.
Montrer que est solution de l'équation différentielle :

et expliciter en fonction de et et donner son ordre de grandeur.
II.A.5) Exprimer en fonction de et de deux constantes d'intégration et .
II.A.6) Quelle idée simple traduit la condition aux limites en ? Comment se simplifie alors l'expression de précédente?
II.A.7) Le coefficient de diffusion de dans l'air étant très supérieur à sa valeur dans l'eau, on le suppose infini, ce qui conduit à supposer que le nombre de molécules de par unité de volume dans l'air est uniforme, égal à sa valeur loin de la stalactite. Par ailleurs la condition d'équilibre chimique entre le dioxyde carbone dissous dans l'eau et le dioxyde de carbone présent dans l'air impose la condition aux limites avec à (loi de Henry). En déduire l'expression de en fonction de , et .
II.A.8) On suppose que « . Exprimer le vecteur densité de flux de molécules de en en limitant les calculs à l'ordre un en . En utilisant le bilan chimique de la réaction de précipitation donné dans l'introduction du problème, en déduire que le nombre de molécules de qui se dépose par unité de temps et par unité de surface de stalactite au voisinage d'un point où le film d'eau a pour épaisseur est de la forme :

II.A.9) La figure 6 donne l'allure des variations de en fonction du pour une pression partielle en dans la grotte égale à bar. Commenter sachant que le de l'eau qui ruisselle est égal à 9 .

On revient à la stalactite réelle, décrite par le profil . L'étude de la Partie I a montré que l'épaisseur du film d'eau en un point où le rayon de la stalactite vaut et où son inclinaison par rapport à l'horizontale vaut est donnée par l'expression (2) établie en I.B. 3 :

où est une longueur caractéristique du problème, dépendant notamment du débit
de l'eau de ruissellement.
II.B.1) En utilisant les relations (2) et (3), montrer que la vitesse de croissance perpendiculairement à la surface de la stalactite est de la forme: et exprimer en fonction de , du volume molaire du carbonate de calcium et du nombre d'Avogadro .
II.B.2) L'observation de stalactites conduit à supposer qu'elles tendent vers une forme asymptotique telle que la stalactite grandisse comme si elle se translatait verticalement avec une vitesse caractéristique constante. Exprimer à l'aide d'une figure, la relation très simple entre et qui traduit cette hypothèse.
II.B.3) On suppose désormais que de telle sorte que et . Établir l'équation différentielle dont est solution . L'intégrer et obtenir le profil en prenant .
Tracer l'allure du graphe et commenter.

Un cylindre en bois, horizontal d'axe , de longueur et de rayon , est soumis à une pluie verticale (cf. figure 7). Pour simplifier, on ne prend pas en compte le fait que la pluie tombe en gouttes, et on la modélise par un vecteur densité de flux de masse uniforme et stationnaire. La température de l'air est inférieure à la température

de fusion de la glace sous la pression atmosphérique. La température de l'eau de pluie est .
On repère un point de la surface du cylindre par son angle polaire par rapport à la verticale ascendante. On se place en régime stationnaire et on note (respectivement ), la température (respectivement le débit massique), de l'eau qui s'écoule à la surface du cylindre. Les gouttes de pluie ne rebondissent pas sur le cylindre et l'eau ne peut quitter le cylindre qu'en .
On néglige l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de pesanteur de l'eau. On suppose l'eau incompressible et on note sa capacité thermique massique. On suppose dans un premier temps que en tout point.

On envisage le système ouvert et fixe ( ) constitué à chaque instant de l'eau s'écoulant sur le cylindre et comprise entre et .
III.A.1) On suppose tout d'abord que .
a) Établir l'équation différentielle :

b) Justifier sommairement que pour .
c) En déduire l'expression de en fonction de et tracer l'allure du graphe de en fonction de pour .
III.A.2) On suppose désormais que . En quoi la situation est-elle différente de celle qui prévalait en III.A. 1 ? Compléter sans nouveaux calculs le graphe de pour .
III.A.3) Justifier par ailleurs par un raisonnement global que et vérifier la cohérence avec la question précédente.

On envisage toujours le système ouvert et fixe ( ) constitué à chaque instant de l'eau s'écoulant sur le cylindre et comprise entre et et on note son enthalpie, supposée indépendante du temps (régime stationnaire).
III.B.1) Indiquer sans calculs la valeur de si on néglige tout transfert thermique de l'eau aussi bien vers l'atmosphère que vers la main courante cylindrique. Dans la suite, on néglige toujours les transferts thermiques entre l'eau et la main courante mais on suppose désormais que l'eau en écoulement sur la main courante, reçoit de la part de l'atmosphère, à travers un élément de surface pendant , un transfert thermique de la forme où est une constante positive. On admet que l'enthalpie massique de l'eau liquide à la température s'écrit et on prend la constante nulle pour alléger les calculs.
III.B.2) On étudie le cas .
a) On envisage le système fermé ( ) constitué de ( ) et de la masse d'eau qui va y entrer pendant soit par ruissellement sur la main courante en , soit par captation directe de la pluie. Exprimer son enthalpie en fonction de et .
b) À l'instant , ( ) est constitué de ( ) et de la masse d'eau qui en est sortie pendant par ruissellement en . Exprimer son enthalpie en fonction de et .
c) On pose . Établir l'équation différentielle :

d) En , on a ; interpréter sommairement. En exploitant (5), exprimer en fonction de et . La figure 8 donne pour , pour et diverses valeurs de . Vérifier la pertinence de l'expression de .
III.B.3) On se place dans le domaine . En opérant comme en III.B.2, on montre (travail non demandé) que est solution de l'équation différentielle :

a) En déduire l'expression de en posant . Tracer l'allure d'un graphe de pour en utilisant une des courbes au choix de la figure 8 et en admettant la continuité de en .
b) Quel est le point de la main courante le plus propice à la formation de glace ?
c) Indiquer en justifiant brièvement la réponse si l'apparition de glace est favorisée ou défavorisée lorsqu'on remplace la main courante en bois par une main courante en métal.

On schématise la stalactite de glace (cf. figure 9) par un cylindre d'axe vertical, de rayon et de longueur , accroché en à un support fixe. De l'eau ruisselle avec un débit massique constant à la base de la stalactite.
L'épaisseur du film de liquide est uniforme sur la surface de la stalactite. On suppose pour simplifier que toute la stalactite et l'eau de ruissellement sont à la température de fusion , alors que l'atmosphère est à la température loin de la stalactite. On suppose également que l'eau liquide et la glace ont même masse volumique . On donne l'enthalpie massique de fusion de la glace .

Dans cette question, on suppose que l'atmosphère fournit pendant une durée à travers un élément d'interface air-eau une chaleur donnée par la loi de Newton : où est une constante positive donnée et la température de l'atmosphère loin de l'interface stalactite-air. Cette loi
prend en compte de manière phénoménologique le couplage entre la diffusion thermique et la convection au voisinage de l'interface stalactite-air.
IV.A.1) On définit un système fermé constitué à l'instant de la tranche de stalactite de rayon comprise entre les cotes et et de l'eau liquide qui stagne à sa surface (on peut ici négliger son mouvement). On néglige ici tout phénomène de croissance verticale. À l'instant , ce système est constitué de la tranche de stalactite de rayon et de l'eau qui ne s'est pas condensée. Exprimer la variation d'enthalpie de ce système fermé entre les instants et .
IV.A.2) Exprimer la chaleur reçue par ce système de la part de l'atmosphère entre les instants et .
IV.A.3) En déduire la vitesse de croissance radiale en fonction de , et .
IV.A.4) Un raisonnement analogue (non demandé) conduit à une vitesse de croissance axiale ayant la même valeur que . Évaluer grossièrement à l'aide des clichés (cf. figure 2), le rapport du taux de croissance vertical sur le taux de croissance radial et conclure.

On modifie le modèle précédent au niveau de la pointe : on suppose les effets conducto-convectifs négligeables devant les effets purement diffusifs, de telle sorte qu'on n'exprime plus la chaleur échangée avec l'atmosphère avec la loi de Newton. On modélise désormais la pointe de la stalactite comme une boule de rayon et de centre supposée isolée dans une atmosphère de conductivité thermique qui remplit le reste de l'espace. On cherche un champ de température à symétrie sphérique, solution de l'équation de la diffusion thermique en régime stationnaire à l'extérieur de la boule ( ). On néglige la convection.
IV.B.1) Donner sans justification l'équation aux dérivées partielles dont est solution . Montrer que le potentiel électrique créé par une charge ponctuelle est solution de la même équation. Justifier qu'on peut chercher un champ de température de la forme .
IV.B.2) Achever la détermination de avec les conditions aux limites et .
IV.B.3) En déduire que le flux thermique reçu algébriquement par la pointe de la stalactite se met sous la forme et expliciter en fonction de et .
IV.B.4) On suppose que le flux thermique reçu algébriquement par la pointe hémisphérique d'une stalactite est en ordre de grandeur égal à la moitié du flux évalué en IV.B.3. En déduire le facteur d'amplification de qui en résulte au voisinage de la pointe par rapport à sa valeur obtenue en IV.A avec la loi de Newton en fonction de et .

cet effet vous paraît-il à même de résoudre les difficultés apparues en IV.A. 4 ?
IV.B.5) L'effet de pointe se manifeste aussi en électrostatique : au voisinage d'une pointe, le champ électrique peut atteindre le champ critique permettant l'air de s'ioniser. Quel est l'analogue thermique du champ électrique?
IV.B.6) On observe expérimentalement que la stalactite est «creuse» et remplie d'eau liquide dans sa phase de croissance. Au niveau de la pointe, l'eau se solidifie donc seulement sur un anneau d'épaisseur « , à la base de la goutte d'eau liquide hémisphérique (cf. figure 10).
En déduire le nouveau facteur d'amplification de en fonction de , et . Faire l'application numérique pour avec les valeurs expérimentales et .

On observe très souvent des ondulations sur la surface des stalactites (cf. figure 11) dont la période spatiale est de l'ordre de quelques millimètres.

On suppose que la stalactite est ondulée, son rayon étant modélisé par une fonction créneau de période et de valeurs extrêmes et (cf. figure 12). L'étude de la Partie I a montré que l'épaisseur du film d'eau en un point où le rayon de la stalactite vaut est donnée par l'expression :

où est une longueur caractéristique du problème, dépendant notamment du débit de l'eau de ruissellement. On note et les

épaisseurs du film d'eau associées respectivement à et . On suppose la température de l'atmosphère uniforme égale à et celle de la glace uniforme égale à .
V.A.1) On considère une couronne cylindrique de hauteur , de conductivité thermique , comprise entre deux surfaces cylindriques de même axe , de rayons respectifs et ( ), maintenues respectivement aux températures constantes et . Déterminer l'expression de la densité volumique de courant thermique, la diffusion thermique étant radiale. En déduire le flux thermique s'écoulant vers l'extérieur, puis la conductance en fonction de , et .
V.A.2) En déduire la conductance thermique (respectivement ) du film d'eau liquide de hauteur et de rayon (resp. ) en fonction de (resp. ), .
V.A.3) À l'aide de bilans thermiques analogues à ceux faits dans la Partie IV, on montre (travail non demandé) que le rapport des taux de croissance des rayons vaut :

En déduire qu'une irrégularité de la surface initialement faible peut s'amplifier.
V.A.4) La formation d'une interface glace-eau est associée à une énergie potentielle où est le coefficient de tension superficielle et l'aire de l'interface. Justifier que la prise en compte de cette énergie potentielle
modère l'effet d'origine thermique décrit en V.A.3. Cette modération est-elle plus efficace pour les grandes ou les petites valeurs de ?

V.B.1) L'analyse précédente suppose qu'il n'y a pas de conduction thermique selon , ce qui est inexact. Du fait du mouvement de l'eau, l'équation dont est solution le champ de température s'écrit :

où est la diffusivité de l'eau liquide. Interpréter sans calculs la forme du membre de droite de l'équation (6). Dans la suite, on néglige le terme .
V.B.2) Par une simple analyse en ordre de grandeur de l'équation (6), exprimer la période spatiale des ondulations en fonction de la vitesse moyenne de l'écoulement, de son épaisseur et de .
V.B.3) L'article de Furukawa et Ogawa publié dans Physical Review E 66,041202 (2002) montre qu'une résolution effective de l'équation (6) ne modifie l'expression de que par un facteur multiplicatif supplémentaire égal à 2,2 .
En déduire la valeur numérique de avec et . Conclure.