Centrale Physique 2 PC 2000

Le problème comporte des questions non calculatoires, pour lesquelles le candidat s'efforcera de répondre avec concision : quelques mots suffisent en général. Les parties I - , II - et III - sont largement indépendantes, mais il est recommandé d'aborder la partie I - en premier.
On éclaire avec un faisceau laser élargi de longueur d'onde toute la surface libre d'un liquide contenu dans un bac horizontal sous incidence , avec (cf. figure 1). Les propriétés de la lumière récupérée loin de l'interface dans une direction d'angle , avec , sont liées à la propagation d'ondes dans le liquide, engendrées spontanément par l'agi-

tation thermique. Ces ondes mettent en jeu des forces de tension superficielle qui font intervenir une constante caractéristique du liquide appelée coefficient de tension superficielle : aucune connaissance sur la tension superficielle n'est nécessaire pour traiter le problème. Sauf en II.F, on néglige la viscosité. Pour toutes les applications numériques sauf celles de la question II.E.3, on supposera que le liquide est de l'eau de masse volumique et de coefficient de tension superficielle . On donne en outre quelques constantes fondamentales : ; . Le milieu ambiant est de l'air, dont on prend l'indice optique égal à 1 .

I.A - À un instant donné, du fait de fluctuations thermiques, la surface libre possède de petites «aspérités» et on prend pour premier modèle une surface dont la cote prise par rapport à une origine vaut:

Expliquer qualitativement pourquoi on peut alors récupérer de la lumière dans des directions .
I.B - On suppose que l'essentiel du mouvement dans le liquide est localisé sur une épaisseur de l'ordre de au voisinage de l'interface (hypothèse ). D'autre part, on admet que les forces de tension superficielle exercées sur une interface d'aire entre le fluide et l'air dérivent d'une énergie potentielle où la constante est le coefficient de tension superficielle. En évaluant numériquement un rapport d'énergies, montrer que la pesanteur joue un rôle négligeable devant la tension superficielle.

I.C - En réalité l'interface est en mouvement. Si on néglige la viscosité, la surface libre a pour cote :

La relation de dispersion de ces ondes s'écrit :

Déterminer les constantes et par analyse dimensionnelle. Calculer la pulsation et la période pour .
I.D - La cuve est limitée au domaine et avec par des parois verticales rigides. Plutôt que l'onde proposée en I.C) on considère pour toute la suite du problème une onde décrite par le profil associée à un potentiel des vitesses et un champ des vitesses tels que :

où est une fonction de , sans dimension, de l'ordre de 1 dans le domaine et négligeable pour . On admet que la relation de dispersion est inchangée.
I.D.1) Quelles sont les conditions aux limites imposées par les bords du récipient? En déduire les valeurs convenables de en fonction de et d'un entier .
I.D.2) Représenter sur une même figure l'allure de la surface libre aux instants et pour . Même question pour . Indiquer une des propriétés qui distinguent ces ondes de celles de la question I.C).
I.D.3) Exprimer l'ordre de grandeur littéral de l'énergie cinétique du liquide en fonction de et . Des considérations de physique statistique qui dépassent le cadre de ce problème montrent que est de l'ordre de l'énergie cinétique d'un atome de gaz parfait monoatomique en équilibre à la température . En déduire la valeur numérique de pour la température ambiante.
I.D.4) Rappeler l'ordre de grandeur du libre parcours moyen |* dans un liquide. La valeur très faible de pourrait susciter quelques inquiétudes quant à la validité du modèle du fluide continu, mais l'expérience conforte ce modèle, montrant ainsi que le rapport est hors-jeu. À quelle autre grandeur proposez-vous de comparer | * pour valider le modèle du fluide continu?

L'étude de la lumière diffusée par une interface liquide-air permet de mesurer le coefficient de tension superficielle et la viscosité du liquide.
Pour rendre compte de la diffusion de la lumière par la surface libre du liquide, on adopte le modèle suivant :

Combien vaudraient alors et l'éclairement reçu par le détecteur si on avait réellement ?
II.B.3) Déterminer l'écart angulaire , supposé petit, entre l'onde réfléchie dans la direction et l'onde diffractée dans la direction , en fonction de et . Le détecteur a une ouverture angulaire égale à . Comment faut-il choisir pour ne récupérer que la lumière diffractée ?
II.C - On suppose désormais que et on admet qu'on peut prendre pour le vecteur d'onde de la lumière diffractée avec une très bonne approximation.
II.C.1) Faire apparaître la différence de marche des traits d'indice pair sur une figure. On pose . Montrer que:

Expliciter en fonction de en tenant compte du fait que et .En déduire l'amplitude complexe instantanée totale diffractée par les traits d'indices pairs, notée , en fonction de et .
II.C.2) Évaluer de même l'amplitude complexe instantanée totale diffractée par les traits d'indices impairs, notée .
II.C.3) En déduire que l'amplitude complexe instantanée totale diffractée dans la direction vaut :

où on rappelle que l'angle est déterminé par le choix de (cf. II.B.2).
II.C.4) Sachant que , donner l'expression de à l'ordre un en . Montrer que est la somme de deux ondes sinusoïdales et déterminer leurs pulsations en fonction de et . Quelle erreur relative sur a-t-on commise en prenant pour ces deux ondes?
II.C.5) Comment évolue l'amplitude de l'onde diffractée lorsque augmente. Montrer qu'il faut trouver un compromis sur la valeur de du fait de la conclusion de la question II.B.3).
II.D - Le photodétecteur utilisé délivre une tension proportionnelle à la valeur moyenne du carré de l'amplitude réelle instantanée , la moyenne étant calculée sur une durée de l'ordre de dix nanosecondes. D'autre part, comme l'éclairement diffracté est trop faible pour être détecté directement, on lui superpose une onde plane de référence se propageant dans la direction , engendrée à partir du laser-source par un dispositif qui ne sera pas étudié et d'amplitude complexe sur le détecteur :

II.D.1) Montrer que la tension obtenue est, au premier ordre en , de la forme :

où et sont deux constantes, dont on ne demande pas d'expliciter les expressions.
II.D.2) Proposer un circuit électrique passif simple permettant de récupérer à partir de une tension proportionnelle à en précisant la valeur numérique des composants choisis pour .
II.D.3) Indiquer brièvement pourquoi l'utilisation d'une onde de référence rend détectable le signal qui ne l'était pas sans elle.
II.D.4) En réalité on atténue l'onde de référence ; interpréter sommairement. Pour cela, on interpose un polariseur sur le trajet du faisceau de référence ; interpréter sommairement, sachant que le laser émet une onde polarisée rectilignement.
II.E - En réalité tous les modes possibles associés aux valeurs de (ou de ) possibles coexistent: la surface du liquide présente des «aspérités» correspondant à la superposition de tous ces modes. L'expérience permet d'accéder à la relation de dis-

persion : pour cela un fréquencemètre mesure la fréquence de ; par ailleurs il faut faire varier et le mesurer. Pour cela on envisage le montage de la figure 2 : on place un réseau plan , de pas a connu, orthogonalement à la direction ; l'onde de référence qui arrive sur ce réseau sous incidence normale donne naissance à des taches de diffraction d'ordre dans des directions .
II.E.1) En utilisant sans démonstration la formule des réseaux plans par transmission, exprimer l'angle , supposé faible, en fonction de et .
II.E.2) On place le détecteur successivement dans les directions . On admet que ce réseau est sans effet sur la lumière diffractée par la surface du liquide, ce qui revient pour cette lumière à supposer que le réseau travaille dans l'ordre zéro. En exploitant l'expression de établie en II.B.3), montrer qu'on fait prendre ainsi à une séquence de valeurs connues qu'on déterminera en fonction de et .
II.E.3) Le graphe de la figure 3 donne en fonction de
avec en rad et en pour une expérience où le liquide est de l'éthanol de masse volumique . Vérifier la compatibilité des résultats avec la relation de dispersion établie en I.C) et déterminer la valeur numérique de .
II.F - La figure 4 où l'unité de temps est la milliseconde donne le graphe de pour une expérience où le liquide est de l'eau. Qu'observe-t-on qui n'est pas prévu par le modèle adopté jusqu'ici? Montrer qu'on peut en rendre compte sommairement en évaluant une durée caractéristique de la diffusion de quantité de mouvement en fonction de et de la viscosité cinématique de l'eau. Déduire du graphe un ordre de grandeur de .

On décrit le mouvement de l'interface par sa cote et le mouvement du liquide par le champ des vitesses tels que:

Le champ de pression est uniforme égal à dans l'air; il est de la forme dans le liquide. Le récipient est suffisamment profond pour qu'on puisse le supposer infini, de telle sorte que le liquide occupe au repos le demiespace . Les champs et leurs dérivées partielles sont traités comme des infiniment petits de même ordre et on se limite à l'ordre 1 en ces infiniment petits.
III.A - On suppose l'écoulement incompressible.
III.A.1) Déterminer l'équation aux dérivées partielles dont est solution .
III.A.2) En déduire que est solution d'une équation différentielle homogène du deuxième ordre à coefficients constants. Déterminer à une constante multiplicative près.
III.A.3) Justifier l'hypothèse ( ) de la question I.B).

III.B.1) Justifier brièvement la condition aux limites à la surface libre de cote :

III.B.2) En admettant qu'on peut évaluer en au lieu de , en déduire l'expression de en fonction de et .
III.C - Les forces de tension superficielles ne s'exercent qu'à la surface du liquide. En utilisant l'équation d'Euler au sein du liquide et en négligeant la pesanteur (cf. I.B), montrer que la fonction

ne dépend pas du point . Dans toute la suite, on admet que .
III.D - Soit un élément de l'interface liquide-air compris entre et de largeur dans le plan et de profondeur selon . On admet qu'outre les forces de pression, cet élément subit des forces de tension superficielle :

où est le coefficient de tension superficielle supposé constant et la tangente orientée au profil (cf. figure 5). On limite les calculs à l'ordre un en et à l'ordre un en .
III.D.1) Établir l'expression de à l'interface en fonction de et .
III.D.2) En admettant qu'on peut écrire la relation de la question précédente en

au lieu de , en déduire la relation de dispersion, liant et . Vérifier la cohérence avec les résultats de I.C) et II.E.3).