Centrale Physique 1 TSI 2005

La Terre est entourée de zones, appelées «ceintures de Van Allen », où des particules chargées, de haute énergie, sont piégées par le champ magnétique terrestre. Dans ces zones, les trajectoires des particules s'enroulent autour des lignes de champ terrestre. Au fur et à mesure que les particules se rapprochent des pôles magnétiques

de la terre, les trajectoires se resserrent et la composante longitudinale de la vitesse des particules le long des lignes de champ diminue ; elle peut finir même par s'annuler et les particules correspondantes repartent alors en sens inverse vers l'autre pôle où le même rebroussement se produit. Ces particules chargées oscillent ainsi entre deux points et appelés points miroirs (figure 1).
Le problème qui suit se propose d'expliquer la présence des ceintures de Van Allen autour de la terre. On se place dans le cadre de la mécanique newtonienne et on néglige toutes les forces autres que la force magnétique.

Charge de l'électron (module) :

Masse d'un proton :

Masse d'un électron :

Rayon terrestre :

Une particule, de masse et de charge , est soumise à l'action d'un champ magnétique uniforme et permanent (indépendant du temps), dans le référentiel supposé galiléen. On appelle respectivement les vecteurs unitaires des axes et .
Le champ magnétique est colinéaire à . On pose . La vitesse de la particule a pour composantes et : on pose et et désignent ainsi les composantes de la vitesse respectivement perpendiculaire et parallèle au champ . La norme du vecteur est notée . À l'instant initial, la particule se trouve en avec la vitesse .
I.A - Montrer que l'énergie cinétique de la particule est une constante du mouvement.
I.B - Montrer que est une constante du mouvement. En déduire que est également constant au cours du mouvement. On pose .
I.C - On étudie la projection du mouvement de la particule dans le plan perpendiculaire à .
I.C.1) Déterminer les composantes et de la vitesse de la particule en fonction de et du temps .
I.C.2) En déduire les coordonnées et de la particule à l'instant .
I.C.3) Montrer que la projection de la trajectoire de la particule dans le plan est un cercle de centre (centre guide) et de rayon (rayon de giration). Déterminer les coordonnées et de , le rayon et la période de révolution de la particule sur ce cercle en fonction de et .
I.C.4) Tracer, avec soin, le cercle dans le plan , dans le cas d'un proton, puis dans le cas d'un électron. Préciser en particulier les sens de parcours de chaque particule sur .

I.C.5) Application numérique : . On suppose .

Calculer, pour un électron d'énergie cinétique , le module de sa vitesse, le rayon et la période ; que pensez-vous de la valeur de ? Mêmes questions pour un proton d'énergie cinétique .
I.C.6) L'orbite circulaire peut être assimilée à une petite spire de courant ; déterminer l'intensité de ce courant associé au mouvement de la particule sur et en déduire le moment dipolaire magnétique

correspondant. Exprimer en fonction de et puis en fonction de , et du flux du champ à travers l'orbite circulaire .

I.D.1) Quelle est la trajectoire de la particule chargée ? Expliquer pourquoi elle s'enroule sur un tube de champ du champ .
I.D.2) On peut décomposer le mouvement de la particule en un mouvement sur un cercle dont le centre se déplace à la vitesse le long de . Quelle distance parcourt le centre sur durant la période ? Exprimer en fonction de et . Comparer et dans le cas où

On suppose que le champ n'est plus tout à fait uniforme, ses variations restant très faibles sur une distance de l'ordre du rayon de giration ou de la distance . Le champ présente la symétrie de révolution autour de l'axe ; en outre, on admet que la composante du champ ne dépend que de dans la zone située au voisinage de l'axe où se déplace la particule chargée et dans laquelle il n'y a aucun courant. On suppose en outre positive. Un point de cette zone est repéré par ses coordonnées cylindriques ( ).

II.A.1) Montrer que la composante orthoradiale du champ est nulle.
II.A.2) En exprimant le flux du champ à travers un petit cylindre judicieusement choisi, déterminer la composante radiale du champ au point en fonction de et de la dérivée

II.B - En considérant le champ «localement» uniforme, on peut utiliser certains résultats de la partie I : dans ce champ, une particule chargée décrit un mouvement circulaire dans un plan perpendiculaire à , autour d'un centre guide se déplaçant le long de ; mais, puisque varie d'un point à un autre, le rayon du cercle, la période de révolution (dont les expressions trouvées à la partie I restent valables en remplaçant par ) varient également au cours du mouvement et le déplacement de sur n'est plus uniforme (les vitesses et ne sont plus constantes).
II.B.1) Montrer que la composante sur l'axe Oz de la force qui agit sur la particule chargée a pour expression :

II.B.2) En utilisant l'expression de obtenue à la question I.C. 6 dans laquelle est remplacé par , calculer

en déduire que est une constante du mouvement. Peut-on encore dire que la particule s'enroule sur un tube de champ du champ au cours de son mouvement?
II.B.3) Exprimer l'énergie cinétique de la particule en fonction de , et .
II.B.4) En déduire que la particule chargée ne peut entrer dans une zone où la composante du champ dépasse une valeur maximale que l'on exprimera en fonction de et .

II.C.1) Sur la figure 2, ont été représentées plusieurs lignes de champ dans le plan méridien passant par Oz. On constate que le plan est un plan de symétrie pour la distribution de courants

créant le champ . Comment varie l'intensité du champ du point au point ? Justifier brièvement la réponse. Même question du point au point . Que peut-on dire de l'intensité
du champ en ? Les points et étant symétriques par rapport à sur l'axe le champ a même intensité .
II.C.2) On suppose compris entre et . Montrer que, dans ces conditions, le centre guide oscille périodiquement entre deux points et symétriques par rapport au point , d'abscisses respectives et est situé entre et est situé entre et ) et que la période de ce mouvement est donnée par :

où représente l'intensité du champ magnétique en un point variable de l'axe situé entre et .

On admet que le champ magnétique terrestre est assimilable au champ magnétique d'un dipôle magnétique situé au centre de la terre, de moment

est positif et désigne le vecteur unitaire de l'axe géomagnétique de la terre qui est légèrement incliné par rapport à l'axe de rotation terrestre: le signe moins tient compte du fait que sud et nord magnéti-

ques sont inversés par rapport au sud et nord géographiques). Un point de l'espace est repéré par ses coordonnées sphériques ( ) par rapport à l'axe géomagnétique (figure 3).
En un point suffisamment éloigné de , les composantes de s'écrivent:

sont les vecteurs unitaires sphériques.
III.A - Établir l'équation différentielle d'une ligne de champ. En intégrant cette équation, montrer que l'équation d'une ligne de champ est donnée par l'expression où désigne une constante.
III.B - Tracer l'allure de quelques lignes de champ dans un plan méridien (plan défini par constante) sans oublier d'y indiquer le sens du champ.
Que représente la distance pour une ligne de champ?
III.C - Calculer l'intensité du champ magnétique sur une ligne de champ ; en désignant par l'intensité correspondante dans le plan équatorial magnétique (plan défini par ), écrire sous la forme .
Exprimer en fonction de et et expliciter la fonction .
III.D - Pour quelle valeur , l'intensité du champ est-elle minimale? Exprimer la valeur correspondante en fonction de .
III.E - Vérifier que .
III.F - Représenter le graphe de la fonction en précisant le domaine de variation de l'angle .
III.G - On se propose de déterminer, en un point (défini par l'angle ) situé à la surface de la terre, l'intensité de la composante horizontale du champ magnétique terrestre en mesurant les petites oscillations dans un plan horizontal d'une aiguille aimantée.
L'aiguille aimantée est un petit solide qui peut tourner sans frottement autour de son axe vertical. Elle est assimilable à un dipôle magnétique de moment magnétique horizontal et de moment d'inertie par rapport à son axe de rotation. On pose

III.G.1) Quelle est la position d'équilibre stable de l'aiguille aimantée dans le champ magnétique terrestre ? Justifier brièvement la réponse.
III.G.2) Établir l'équation différentielle du mouvement de l'aiguille soumise au champ magnétique terrestre.
III.G.3) En déduire la période des petites oscillations de cette aiguille en fonction de et la norme du moment .
III.G.4) Les valeurs de et n'étant pas connues, on utilise le champ magnétique créé par une bobine parcourue par un courant électrique pour s'en affranchir. On place d'abord la bobine telle que et la composante horizontale
du champ terrestre soient parallèles et de même sens et on mesure la période des petites oscillations de l'aiguille aimantée. On change ensuite le sens du courant dans la bobine et on mesure la nouvelle valeur de la période des petites oscillations. En déduire en fonction de l'intensité du champ créé par la bobine et du rapport (on supposera ).
III.G.5) Application numérique : en un point défini par , on a mesuré et . Calculer .
En déduire le moment magnétique terrestre . Dans quel intervalle l'intensité du champ magnétique terrestre sur la surface de la terre varie-t-elle?

Dans cette partie, on utilise les notations des parties précédentes. En négligeant l'influence de la courbure des lignes de champ terrestre, on peut utiliser tous les résultats de la partie II : une particule chargée dans l'espace, soumise à l'action du champ terrestre, s'enroule sur un tube de champ défini par le paramètre et on suppose qu'elle est piégée entre les points miroirs et définis respectivement par les angles et ( ) (figures 1 et 3 ).
IV.A - Expliquer brièvement que l'expression de la période d'oscillations entre et , obtenue à la question II.C. 2 peut s'écrire maintenant:

Exprimer le module de l'élément d'abscisse curviligne de la ligne de champ considérée en fonction de et .
IV.B - Montrer que, si reste voisin de , l'expression ci-dessus devient

Quelle est l'unité du coefficient ? Justifier la réponse. Quelle est sa valeur numérique?
IV.C - Application numérique : on reprend les valeurs numériques des questions précédentes. La particule chargée, d'énergie cinétique , s'enroule autour d'une ligne de champ définie par le paramètre . On suppose qu'à un instant pris comme instant initial, cette particule se trouve dans le plan

équatorial magnétique ( ), avec une vitesse dont les composantes et vérifient

IV.C.1) Calculer sur la ligne de champ.
IV.C.2) Calculer la valeur de pour cette particule. Vérifier que les conditions de piégeage sont effectivement satisfaites et que reste voisin de . Moyennant cette dernière remarque, déterminer la valeur de .
IV.C.3) En déduire les valeurs de pour un électron d'énergie et un proton d'énergie . Que pensez-vous des valeurs trouvées sachant que des mesures donnent des valeurs de de l'ordre de 100 ms pour l'électron et de l'ordre de 10 s pour le proton?
IV.D - Quels sont les effets des particules chargées sur un vaisseau spatial qui traverserait les ceintures de Van Allen?