Centrale Physique 1 TSI 2003

Les deux problèmes suivants sont indépendants. Ils portent respectivement, sur la Mécanique et la Thermodynamique.

Une particule de masse est soumise à la force centrale dérivant de l'énergie potentielle :

On désigne par la constante de l'énergie et par le moment cinétique à l'origine , dans le référentiel galiléen d'étude.
I.A.1) Rappeler les propriétés essentielles :

où «l'énergie potentielle» dite «effective» sera exprimée en fonction de , de et .
c) À quelle condition l'équation radiale présente-t-elle une solution physique ?
d) Exprimer enfin et en fonction de et des constantes.

I.A.4) Le terme en qui s'ajoute à dans l'expression de est généralement appelé «énergie potentielle centrifuge».
a) Montrer que le mouvement radial de la particule se produit dans un référentiel tournant dont on précisera la vitesse angulaire de rotation .
b) Exprimer la force associée à l'énergie potentielle centrifuge. Elle représente la force d'inertie centrifuge associée au mouvement radial lorsque l'étude est menée dans le référentiel précédent. En déduire l'équation différentielle du mouvement radial sous la forme : . Expliciter la fonction .

Dans le cas d'un gaz suffisamment dilué, la force d'interaction entre deux molécules voisines neutres et dénuées de moment dipolaire est appelée force de Van der Waals. Lennard-Jones en 1929, étudiant la liaison chimique à partir des orbitales moléculaires, la considère comme dérivant de l'énergie potentielle

Ce modèle est appliqué ici à un gaz formé de molécules de dioxyde de carbone , pour lesquelles:

I.B.1) Exprimer la force d'interaction . Dans quel domaine de distances la force d'interaction est-elle, attractive, répulsive, nulle? Déterminer les positions d'équilibre.
I.B.2) L'étude du mouvement d'un tel système formé de deux particules isolées s'effectue dans le référentiel barycentrique .
a) Rappeler la définition de ce référentiel.
b) Est-il galiléen ?
I.B.3) Soit une particule fictive de masse telle que , où désigne la masse d'une molécule de :
position est définie dans le référentiel barycentrique par le vecteur représentant le centre de masse des deux molécules.
a) Exprimer les positions et des deux molécules en fonction de .
b) Par quelle transformation mathématique passe-t-on de la trajectoire de à celles de et dans le repère barycentrique ? Que peut-on conclure quant aux formes de ces trajectoires?
I.B.4) Montrer que la quantité de mouvement barycentrique de s'exprime très simplement en fonction de celle de .
I.B.5) En appliquant le principe fondamental à dans le référentiel barycentrique, montrer que tout se passe comme si était soumise à la force calculée au I.B.1. On est donc ramené à l'étude du cas simple à une particule de masse soumise à la force centrale de pôle , dérivant de l'énergie potentielle d'interaction .
I.B.6)
a) Montrer, par un changement de variable linéaire approprié, que peut s'exprimer en unité de sous la forme :

Exprimer la nouvelle variable en fonction de et .
b) Exprimer .
c) Vérifier que est une fonction simple de et .
d) Calculer pour et .

Le premier graphique ci-après représente la variation de en fonction de (ou de ). On rappelle que . Le second graphique représente les variations de (on utilise en fait la variable ) en fonction de . Sur chaque graphique, les courbes en noir correspondent à et les courbes en pointillés à .
Le candidat admettra que, pour une telle forme d'énergie potentielle (LennardJones, 1929), et dans l'intervalle d'énergie considéré, les trajectoires ne sont généralement pas fermées.
Dans la discussion suivante, on distinguera clairement les états liés et les états de diffusion de par rapport au pôle .
I.B.7) DISCUSSION. Dans le cas on désigne par le premier extremum (minimum) et par le second extremum (maximum) de l'énergie de . (voir second graphique).

a) Que se passe-t-il pour ? En particulier que vaut ? Quelle est la nature du mouvement de (trajectoire, vitesse angulaire ) ? Quelle est la nature de «l'équilibre» pour la variable ?
b) On étudie maintenant la nature du mouvement de pour une valeur de telle que .

Ce problème analyse l'évolution des fonctions thermodynamiques d'une mole d'eau au cours de deux transformations réversibles indépendantes. L'attention des candidats est attirée sur l'importance des valeurs numériques (y compris leurs signes).

Notations: les variables directement mesurables sont la pression , le volume et la température .
On considère une transformation élémentaire réversible d'un système. On admettra que les deux premiers principes de la thermodynamique s'expriment
alors en écrivant que les variations et des fonctions d'état - énergie interne et entropie - sont des différentielles totales.
II.A.1) La différentielle totale d'une fonction dépendant des deux variables indépendantes et , soit , s'écrira sous la forme : , où :

Quelle condition doivent satisfaire les «dérivées partielles» et ?
II.A.2) Montrer que l'énergie interne d'un corps pur peut-être considérée comme fonction des deux variables, et , soit .
II.A.3) Exprimer la température et la pression en fonction de dérivées partielles de clairement établies.
II.A.4) En déduire une relation entre une certaine dérivée partielle de et une autre dérivée partielle de . (Première relation dite «de Maxwell»).
II.A.5) La «fonction enthalpie» joue le rôle d'une fonction thermodynamique adaptée à un couple de variables que l'on précisera. Exprimer et en fonction de dérivées partielles de .
II.A.6) En déduire une relation entre une certaine dérivée partielle de et une autre dérivée partielle de (deuxième «relation de Maxwell»).
II.A.7) Répondre à la même série de questions :
a) pour l'énergie libre de Helmholtz définie par ,
b) pour l'enthalpie libre de Gibbs définie par .

Établir en particulier les deux relations : et .

On comprime réversiblement une mole d'eau depuis une atmosphère jusqu'à la pression de 100 atmosphères. Pendant cette compression la température demeure constante et égale à . À cette température le coefficient de dilatation

On admettra que la variation de volume est négligeable pendant la compression.
II.B.1) Exprimer en fonction de , et .
II.B.2) Justifier l'égalité

Exprimer cette grandeur en fonction de et de .
II.B.3) En déduire la variation d'enthalpie lors de la compression, en fonction de et .
II.B.4) Application numérique. Calculer pour une mole d'eau. On prendra comme masse molaire de l'eau .
II.B.5) En déduire , littéralement et numériquement.
II.B.6) Exprimer en fonction de et .

Application numérique : calculer pour la compression envisagée.
II.B.7) Que peut-on dire, sans calcul numérique, sur la variation d'énergie libre de Helmholtz?
II.B.8) Déterminer enfin . Faire l'application numérique.
II.B.9) Montrer que la connaissance de permet de remonter à une solution plus brève pour les autres variations.

II.C.1) On considère d'abord, à , la vaporisation d'une mole d'eau.
a) Exprimer les variations d'enthalpie et d'entropie correspondantes en fonction de la chaleur latente molaire de vaporisation
b) En déduire, au cours de ce passage de la phase liquide à la phase vapeur, la variation de l'enthalpie libre. Quelle généralisation pouvez-vous en déduire?
II.C.2) Lors du refroidissement d'un liquide, on n'observe généralement pas la solidification au moment où l'on atteint la température de fusion. On obtient alors un liquide surfondu, qui se trouve dans un état d'équilibre métastable. Il suffit de le toucher avec une parcelle du cristal du même corps pur pour provoquer le passage à la phase solide.
a) La courbe de surfusion dans un diagramme ( ) traduisant l'équilibre entre le liquide surfondu et la vapeur saturante n'est que le prolongement de la courbe de vaporisation dans le domaine solide.
Tracer schématiquement l'allure du diagramme ( ) des changements d'états de l'eau, en y indiquant les états physiques de l'eau. Ajouter en pointillés la courbe de surfusion de l'eau.
b) À la température de la pression de vapeur de l'eau surfondue vaut millimètres de mercure, tandis que celle de la glace en équilibre vaut . On s'intéresse à la variation d'enthalpie libre, correspon-
dant à la transformation d'une mole d'eau surfondue à en une mole de glace à .
Au moyen d'un «chemin» approprié, dont on donnera le diagramme et dont on justifiera la légitimité, montrer que le calcul de peut, dans le problème considéré, se décomposer simplement en une somme de trois termes : , dont un seul est non nul. En considérant la vapeur d'eau comme un gaz parfait, exprimer en fonction de et de la constante . Faire l'application numérique.
Au moyen d'un raisonnement qualitatif sur et , montrer que ce processus dégage de la chaleur (soit ). Montrer qu'un signe opposé au signe obtenu pour violerait le second principe de la thermodynamique.
II.C.3) Imaginer un dispositif expérimental qui puisse permettre soit de visualiser, soit de mesurer le dégagement de chaleur lié à la transition liquide surfondu à glace à (le candidat a le choix entre les deux méthodes).