Centrale Physique 1 TSI 2000

Les amplificateurs opérationnels (notés A.O. par la suite) utilisés dans ce problème sont identiques et supposés idéaux. La tension de saturation en sortie de ces A.O. est notée et on suppose que, dans tous les montages proposés, la saturation en courant n'est jamais atteinte. Toutes les valeurs numériques utiles sont regroupées ci-après : , .
Cet énoncé propose plusieurs graphes dont les échelles sont :

On considère une fonction du temps , solution de l'équation différentielle :

et désignent des coefficients réels et constants, est positif.
I.A - Quelles sont les dimensions de et . Justifier brièvement votre réponse.
I.B - Le graphe 1 représente la fonction en Volt pour un couple de valeurs de et de .
I.B.1) Caractériser briè-
vement l'allure de la courbe. Quel est le signe de ? Quel est le signe du discriminant associé à

l'équation différentielle ci-dessus? Que peut-on dire de la valeur de à l'instant initial ? Justifier brièvement vos réponses.
I.B.2) En mesurant directement sur le graphe 1 les amplitudes et la pseudopériode des oscillations, expliquer pourquoi on peut négliger devant l'unité et en déduire les valeurs numériques approximatives des coefficients et .

I.C - Le graphe 2 représente la fonction en Volt pour une seconde valeur du coefficient ( n'ayant pas été modifié). Caractériser brièvement l'allure de la courbe. Quel est le signe de ? Quel est le signe du discriminant associé à l'équation différentielle? Que peut-on dire de la valeur de à l'instant initial ? Justifier brièvement vos réponses
I.D - Reprendre la question I.C) dans le cas du graphe 3 où l'on a donné au coefficient une troisième valeur ( n'ayant pas été modifié).

II.A.1) Dans le montage amplificateur (A) de la figure 1, montrer que, lorsque l'A.O. fonctionne en régime linéaire, on peut écrire et exprimer le gain de l'amplificateur (A) en fonction de et .
II.A.2) Dans quel domaine de tensions peut-il varier sans provoquer la saturation de l'A.O.. On définira ainsi une valeur critique de la tension d'entrée que l'on exprimera en fonction de et .
II.A.3) Tracer la courbe représentant en fonction de pour variant de à .

II.B - On considère le «filtre de Wien» ( ) représenté figure 2 et on suppose qu'aucun courant ne sorte de ce filtre ( ). Les équations demandées dans les questions qui suivent seront établies directement sans passer par la notation complexe.
II.B.1) Exprimer le courant d'entrée en fonction de , de et de la dérivée .
II.B.2) Montrer que les tensions d'entrée et de sortie sont liées par l'équation différentielle :

Exprimer le coefficient en fonction de et et déterminer la valeur numérique du paramètre , valeur que l'on utilisera ultérieurement.
II.C - On relie l'amplificateur (A) et le filtre (W) suivant le schéma de la figure 3.

II.C.1) Montrer que l'on peut utiliser l'équation obtenue à la question II.B.2.
II.C.2) Montrer que la tension est régie par le système d'équations différentielles

Exprimer le coefficient en fonction du gain de l'amplificateur (A) et déterminer la valeur numérique du coefficient .
II.C.3) Montrer que la tension et sa dérivée sont nécessairement des fonctions continues du temps.
II.C.4) Quelle valeur minimale doit-on donner au gain pour faire fonctionner l'oscillateur? Pourquoi? Dans toute la suite de ce problème, on supposera évidemment .
II.D - Première simulation : on donne à la valeur et on observe la tension représentée sur le graphe 4.
II.D.1) En vous aidant des résultats établis lors de la partie I (Préliminaire), commenter de manière précise et claire la forme du graphe. On distingue en particulier deux régimes successifs : un régime transitoire où l'amplitude des oscillations augmente et un régime établi où l'amplitude des oscillations reste constante ; expliquer pourquoi il en est ainsi.

II.D.2) Tracer, en conservant approximativement comme échelle des temps celle du graphe 4 , l'allure de la tension en fonction du temps .
II.D.3) On se place en régime établi. Mesurer la période des oscillations, en déduire la valeur numérique de la pulsation correspondante et comparer celleci à la valeur numérique de . Commenter brièvement.
II.E - Seconde simulation : on donne à la valeur et on observe la tension représentée sur le graphe 5. II.E.1) En vous aidant encore des résultats établis lors de la partie I, commenter de manière précise et claire la forme du graphe. Le régime transitoire existe-t-il toujours?
II.E.2) Tracer, en conservant approximativement comme échelle des temps celle du graphe 5 , l'allure de la tension en fonction du temps .
II.E.3) Mesurer la période des oscillations en régime établi ; est-elle
très différente de celle mesurée en II.D. Pourquoi?
II.E.4) Retrouver, à partir d'une mesure adéquate sur le graphe, l'ordre de grandeur de la valeur numérique de .
II.F - Est-il possible avec le montage proposé de régler l'amplitude des oscillations? Pourquoi?

On remplace dans le montage la résistance par un transistor à effet de champ (noté TEC sur la figure 4). Un TEC est un dispositif électronique à trois bornes respectivement appelées source , drain et grille ; on admettra que le courant entrant en est toujours nul. On constate alors que, moyennant un bon choix des différents composants (choix que nous supposerons évidemment réalisé), l'A.O. fonctionne toujours en régime linéaire et, en régime établi, les tensions et sont pratiquement sinusoïdales
(graphe 6). Dans toute la suite, on se place donc en régime établi et on suppose les tensions et parfaitement sinusoïdales de même pulsation et d'amplitudes respectives et ( , et sont des constantes réelles positives).
III.A - Considérons la partie de l'oscillateur représentée figure 5 alimentée par la tension sinusoïdale de période .
La diode est supposée idéale, sans tension de seuil, le coefficient constant est réglable entre 0 et 1 (les résistances et forment en réalité un potentiomètre), le courant est nul. On suppose en outre que la résistance et la capacité vérifient .
III.A.1) Étude du circuit lorsque le condensateur de capacité est débranché : déterminer la tension et tracer l'une en dessous de l'autre et avec les mêmes échelles de temps et de tension les courbes représentant les tensions et .
III.A.2) Étude du circuit complet, condensateur branché : décrire qualitativement, en régime établi, l'évolution temporelle de la tension . On pourra s'aider d'une représentation graphique. Sur une période, à partir de quel instant la diode cesse-t-elle de conduire? Montrer que . Comment la tension évolue-t-elle ensuite?
III.A.3) On désigne par la valeur moyenne et par l'amplitude de l'oscillation de la tension

sur une période. Montrer que est sensiblement proportionnelle à la période et est très faible devant ; exprimer (en faisant toutes approximations utiles) en fonction de et et le rapport en fonction de et .
III.A.4) Application numérique : déterminer la valeur minimale à donner à la capacité pour que le rapport soit inférieur à . On prendra pour valeur numérique de celle qui correspond à . Dans toute la suite on assimilera la tension à sa valeur moyenne .
III.B - Dans le montage amplificateur (A') de la figure 6 (partie de la figure 4), le TEC se comporte entre les points et comme une résistance variable contrôlée par la tension continue :

Les constantes positives et sont caractéristiques du TEC. Dans ces conditions, les tensions et doivent vérifier respectivement: et .

III.B.1) Exprimer le gain de l'ampli-
amplificateur (A') à amplitude contrôlée ficateur (A') en fonction de et de .
III.B.2) En utilisant la valeur de trouvée à la question III.A.3) exprimer en fonction de l'amplitude de la tension et des paramètres , et .
III.B.3) Quelle est la différence de phase entre les tensions et ?
III.B.4) Exprimer l'amplitude en fonction de celle de la tension et de et .
III.C - On considère le filtre de Wien ( ) de la figure 2 en régime sinusoïdal.
III.C.1) Déterminer la fonction de transfert complexe de ce filtre (on note le nombre complexe tel que ) en fonction de et .
III.C.2) Pour quelle valeur de la pulsation les tensions et sont-elles en phase? Quelle est alors la relation entre les amplitudes et de ces tensions?
III.D - Dans le montage oscillateur de la figure 4, on a relié amplificateur (A') et filtre de Wien ( ).
III.D.1) Montrer qu'une oscillation sinusoïdale ne peut exister dans l'oscillateur que si sa pulsation possède une certaine valeur que l'on exprimera en fonction de . On supposera cette condition réalisée dans toute la suite.
III.D.2) Tracer sur le même graphe deux courbes différentes de l'amplitude de la tension en fonction de celle de la tension (cf questions III.B.4) et III.C.2). En déduire les valeurs des amplitudes et de l'oscillation en fonction de . Quelle doit être la valeur minimale (à exprimer en fonction de ) de la résistance pour que cette oscillation puisse exister?
III.D.3) Application numérique : Calculer et en fonction du coefficient . Un bon fonctionnement du TEC impose certaines conditions sur les tensions et à ses bornes (cf question III.B). Montrer que ces conditions ne permettent pas de faire varier entre 0 et 1 mais dans un domaine plus restreint que l'on précisera. Vérifier que l'A.O. fonctionne bien en régime linéaire.
Remarque : pour obtenir des oscillations d'amplitude plus élevée et pour ne pas être «ennuyé» par la condition restrictive sur le coefficient , on place en général une résistance en série avec le TEC pour permettre à ce dernier de toujours se comporter comme une résistance variable, même lorsque l'amplitude des oscillations est plus importante.
III.D.4) Le graphe 6 représente la tension à la sortie de l'amplificateur (A'). En mesurant l'amplitude de cette tension, en déduire la valeur du coefficient du montage.
III.D.5) Montrer, en utilisant le graphe établi à la question III.D.2, que l'amplitude de l'oscillation reste stable.