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Centrale Physique 1 PC 2025

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2025
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PC
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Physique
Centrale PCCentrale 2025PC PhysiquePhysique 2025
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Vitesses mécaniques et célérités des ondes

Bien qu'exprimées dans les mêmes unités, les notions de vitesse et de célérité sont bien distinctes. Dans tout le sujet, on appellera vitesse (notée ou par exemple) la grandeur cinématique associée au déplacement d'un point ou d'un objet matériel, tandis qu'on parlera de célérité (notée ) pour les grandeurs associées à la propagation des ondes (lumineuses, acoustiques, vagues, ...). Dans toute la suite on retiendra que les célérités d'ondes sont des grandeurs positives tandis que les vitesses des objets sont des grandeurs vectorielles, chaque composante étant elle-même une grandeur algébrique.
Ce sujet est divisé en deux problèmes totalement indépendants, dans lesquelles les notions de vitesse et célérité interviennent dans des contextes distincts.
Dans le problème Partie la célérité des ondes est , celle de la lumière dans le vide et, dans l'approximation non relativiste de la mécanique, les vitesses des objets vérifient .
Dans le problème Partie B c'est la célérité des ondes acoustiques (dans des milieux solides, liquides, gaz) qui est étudiée. On rappelle ici que, dans l'approximation acoustique, les vitesses des molécules du fluide vérifient .
On notera ; la base cartésienne associée au repère ( ) sera notée ( ). Pour un point du plan ( ) on utilisera aussi les coordonnées polaires ( ) associées au repère mobile ( ). Toutes les valeurs numériques nécessaires sont regroupées dans un tableau unique en fin d'énoncé, ainsi qu'un formulaire mathématique.
Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du candidat. Leur énoncé est repéré par un numéro de question souligné. Il est alors demandé d'expliciter clairement la démarche, les choix et de les illustrer, le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient compte du temps nécessaire à la résolution de ces questions.

Partie A - Mécanique et célérité de la lumière

Ce problème Partie A étudie trois situations indépendantes entre elles explorant les liens entre la célérité de la lumière (et des ondes électromagnétiques dans le vide) et les vitesses d'objets matériels :
  • la partie présente une méthode astronomique de mesure de la célérité de la lumière dans le vide , bien avant bien sûr que celle-ci ne soit définie conventionnellement, par comparaison aux vitesses relatives des planètes;
  • la partie II étudie une manifestation d'une correction relativiste aux lois de la mécanique céleste : les écarts de trajectoire de la planète Mercure aux lois de Kepler du mouvement gravitationnel ;
  • enfin, la partie III s'intéresse à la propagation des ondes lumineuses dans un fluide transparent et entraîné; il s'agit d'une expérience de physique fondamentale datant de la fin du XIX siècle, peu avant la transition entre mécanique classique et relativiste.

I - La mesure de la célérité de la lumière par Rømer

On étudie d'abord un point E qui émet périodiquement un signal lumineux isotrope aux instants , où est la période d'émission et . Ce signal se propage avec la célérité puis est reçu au point R qui est en mouvement rectiligne à la vitesse et s'éloigne ainsi de E (figure 1). On note et les instants de réception des signaux émis à et et la distance à l'instant .
Q1. Exprimer la distance en fonction de et des instants et . En déduire que la réception des signaux par R est périodique de période et exprimer en fonction de et . Connaissez-vous le nom usuellement donné à l'effet ainsi mis en évidence?
Figure 1 - Réception d'un signal périodique par un récepteur en éloignement longitudinal
On considère maintenant un point E qui émet périodiquement un signal lumineux isotrope aux mêmes instants ; le signal est reçu au point R en mouvement à la vitesse variable . Comme on pourra admettre qu'entre la réception des -ième et -ième signaux le déplacement de R est quasiment rectiligne et uniforme (figure 2 ). Les instants de réception sont notés et et on aura donc . On choisira l'axe ( ) de sorte que .
Figure 2 - Réception d'un signal périodique par un récepteur en mouvement arbitraire
Q2. Exprimer en fonction de , des composantes et de et de l'intervalle de temps entre réceptions, .
Q3. En déduire l'expression approchée, au premier ordre en :
Dans cette relation, la composante peut être qualifiée de vitesse d'éloignement.
L'astronome danois Rømer proposa à la fin du XVII siècle la première détermination de la célérité de la lumière en mesurant la période des occultations de l'astre Io, qui est de tous les satellites de Jupiter le plus proche de sa planète; il a donc une rotation rapide autour de celle-ci, avec une période de l'ordre de 43 heures.
Jupiter est une planète assez éloignée du Soleil et par suite sa position change peu pendant une durée aussi courte; la période de rotation de Io autour de Jupiter est aussi bien sûr constante. Cependant, les moments où l'on observe les apparitions successives de Io (correspondant à des fins d'éclipes) dans son mouvement autour de Jupiter changent lentement au cours du temps, du fait des variations de la distance de la Terre à Jupiter, c'est-à-dire essentiellement du fait de la rotation terrestre.
Ainsi, ces occultations se produisent un peu plus tôt ou un peu plus tard que si la distance de la Terre à Jupiter restait fixe. Le phénomène est bien sûr lié à la propagation des ondes lumineuses de Jupiter à la Terre, et c'est ce qui a permis la mesure de .
Le tableau 1 résume les observations de Rømer, c'est-à-dire la mesure de la durée moyenne séparant deux apparitions consécutives de Io durant l'année 1676. Au moyen de mesures ultérieures menées pendant huit ans, Rømer finit par conclure que la période de ces apparitions varie annuellement avec une valeur moyenne heures et une amplitude totale de variation égale à 22 minutes.
Début des mesures 13 mai 13 juin 7 août 14 août 23 août
Valeur de (heures) 42,45 42,54 42,50 42,48 42,63
Tableau 1 - Les premières mesures de Rømer
Q4. On admettra que la Terre et Jupiter ont des orbites circulaires et coplanaires, héliocentriques, parcourues dans le même sens. Les données en fin d'énoncé en donnent certaines propriétés. Exprimer puis calculer la période de révolution de Jupiter autour du Soleil.
On poursuit l'étude dans un référentiel qui accompagne Jupiter dans sa rotation autour du Soleil de sorte que l'axe Soleil-Jupiter est fixe, confondu avec l'axe ( ). À l'échelle des mesures réalisées par Rømer, on considérera que le point E d'émission de lumière lors de l'apparition de Io derrière l'ombre de Jupiter est confondu avec le point J qui modélise la position de Jupiter.
Q5. Montrer que dans ce référentiel le mouvement de la Terre est circulaire uniforme de vitesse . Quelles sont les valeurs extrêmes et moyenne de la vitesse d'éloignement de la Terre par rapport à E?
Q6. En écrivant que la variation temporelle est directement liée au temps nécessaire à la lumière pour traverser la distance entre Jupiter et la Terre, montrer que ; en déduire l'estimation proposée par Rømer pour ; commenter.
La recherche d'un référentiel galiléen pour l'étude des mouvements des astres a mené à en proposer deux. Le référentiel héliocentrique, noté , a son origine au centre du Soleil et ses trois axes pointent vers des directions réputées fixes, définies par des étoiles lointaines. Le référentiel de Copernic, noté ( ), a son origine au barycentre du système solaire et pointe vers les mêmes directions fixes.
Les lois de la gravitation de Newton, postérieures (1687) à la mesure de Rømer, ainsi que la mesure précise (bien postérieure) du rayon de la trajectoire de Io autour de Jupiter (voir les données en fin d'énoncé) permettent de comparer les masses des différents constituants du système solaire, donc aussi les positions des centres des référentiels de Copernic et héliocentrique . Dans cette comparaison, on ne tiendra compte dans ce qui suit que de la seule planète Jupiter, la plus massive du système solaire.
Q7. Estimer le rapport des masses du Soleil et de Jupiter puis commenter, numériquement, l'écart entre les centres de ces deux référentiels et .

II - Les perturbations séculaires de l'orbite de Mercure

II. 1 - La trajectoire de Mercure selon les lois de Kepler

Mercure est la planète la plus proche du Soleil ; de plus, sa trajectoire est fortement excentrique, caractérisée par des distances minimale et maximale au Soleil nettement distinctes (cf. données en fin d'énoncé). Notant (Oxy) le plan de la trajectoire parcourue dans le sens direct, le centre du référentiel galiléen d'étude, le mouvement de Mercure sera (cf. figure 3) assimilé à celui d'un point matériel décrit en coordonnées polaires ( ).
Figure 3 - Trajectoire de Mercure selon les lois de Kepler
Q8. On admet alors l'expression de l'équation de la trajectoire, où et sont des constantes positives. Exprimer puis calculer les paramètres et de la trajectoire de Mercure en fonction des données et .
Q9. Exprimer l'accélération de sous la forme et exprimer la constante . Montrer que ; préciser le nom et le signe de la constante .
Q10. On note la vitesse de ; sur un tour, c'est une fonction de l'angle . Montrer que le mouvement est caractérisé par où est une constante positive que l'on précisera.
Q11. En déduire qu'on peut, sans perdre de généralité, choisir un vecteur constant de norme et dirigé selon ( ) de sorte que puis vérifier que la projection de cette relation sur permet de retrouver l'équation de la trajectoire, avec .

II. 2 - Correction relativiste pour la trajectoire de Mercure

La trajectoire de Mercure est en fait perturbée par les autres planètes du système solaire. Cependant, on sait depuis le XIX siècle que, même après correction de ces influences gravitationnelles, l'axe des absides (la droite qui joint le périhélie et l'aphélie de la trajectoire de Mercure) tourne très lentement dans le sens direct et dans le plan de sa trajectoire de (secondes d'arc) par siècle. Il n'est possible de rendre compte de ce phénomène que dans le cadre de la mécanique relativiste. Nous adopterons ici une expression corrigée de l'accélération utilisée ci-dessus :
où est une constante qui reste à évaluer, est la composante orthoradiale de la vitesse et est la célérité de la lumière dans le vide. On notera qu'il s'agit toujours d'un problème à force centrale, avec en particulier la constante des aires .
Q12. Proposer, dans le cas de Mercure, une estimation numérique du rapport . En déduire une estimation de l'effet relativiste sur la rotation de Mercure, cumulé au bout d'un siècle. On pourra supposer que reste de l'ordre de grandeur de l'unité.
Pour tenir compte de ce qui précède, on cherche une solution des équations du mouvement avec correction relativiste sous la forme :
et on cherche à caractériser les variations lentes du vecteur , appelé vecteur excentricité sous l'action du supplément d'accélération relativiste , qu'on remplacera dans tout ce qui suit par sa valeur moyenne au cours d'une période du mouvement keplerien (non perturbé).
Q13. Montrer que cette moyenne se met sous la forme et expliciter la constante en fonction des données; on pourra dans la suite admettre que .
Q14. Établir une relation de la forme ; ce résultat est-il compatible avec la lente rotation signalée plus haut de l'axe des absides de d'arc par siècle? Le cas échéant, proposer une valeur numérique du coefficient . Dans le cadre de la théorie de la relativité générale d'Einstein, est un entier.

III - Propagation de la lumière dans un fluide en mouvement

III. 1 - L'entraînement des ondes lumineuses dans l'eau

En 1851, Fizeau réalise une expérience d'interférence dans un dispositif présentant deux tubes contenant de l'eau en mouvement, en sens inverse. La figure 4 en présente le principe : dans deux tubes la célérité de lumière est respectivement dans le même sens et en sens inverse de la vitesse de l'eau, liquide transparent d'indice . La source de lumière utilisée est monochromatique, de longueur d'onde (dans le vide).
Figure 4 - Le principe de l'expérience de Fizeau
On notera respectivement et les célérités (vitesses de phase) de la propagation de la lumière dans le vide et dans les deux tubes, de même longueur . On notera aussi et la célérité «moyenne»; comme on peut aussi écrire .
Q15. Exprimer la différence de temps de parcours de la longueur par la lumière dans les deux tubes. En déduire la différence de phase acquise du fait de la propagation dans ces deux tubes en fonction de et .
Le but de l'expérience était de distinguer entre plusieurs modèles théoriques de l'époque :
  • le modèle sans entraînement de la lumière par l'eau, avec et ;
  • le modèle d'entraînement total de la lumière par l'eau, avec et ;
  • le modèle d'entraînement partiel de la lumière, proposé par Fresnel en 1819, avec un raisonnement assez complexe aboutissant à et .
    Si le dispositif est inséré au sein d'un système interférentiel, il sera possible de distinguer entre les différents modèles théoriques seulement si le déplacement de franges d'interférence (par rapport à une situation où l'eau est immobile) dépasse une valeur seuil qui dépend de l'expérience. On supposera que la différence de marche au point d'observation ne dépend que de calculé en Q15.
Q16. Quel est le déplacement dans un modèle sans entraînement?
Q17. Dans le cadre du modèle d'entraînement partiel, montrer que la longueur minimale des tubes nécessaire au succès de l'expérience est :
Faire et commenter l'application numérique si et . Une telle longueur suffira-t-elle pour valider ou invalider le modèle d'entraînement total?

III. 2 - Le modèle classique des vitesses d'entraînement

On peut expliciter partiellement les modèles proposés dans un cadre mécanique. La célérité des ondes lumineuses relativement au référentiel lié à l'eau est tandis que la vitesse d'entraînement de ce référentiel relativement au référentiel du laboratoire est selon le tube étudié. Les célérités cherchées et sont alors les vitesses de la lumière relativement à , telles qu'elles se déduisent des lois de composition des vitesses.
Q18. Rappeler la loi de composition des vitesses de la mécanique classique. En déduire et puis et ; quel modèle retrouve-t-on ainsi ?
Les mesures de Fizeau ont conclu à la validité du modèle d'entraînement partiel de Fresnel.

III. 3 - Le modèle relativiste pour les ondes lumineuses dans l'eau

À partir de 1905, un modèle nouveau se substitue au précédent : celui de la relativité restreinte. Dans ce cadre, et toutes les vitesses étant des grandeurs algébriques dirigées par ( ), la loi de composition des vitesses prend la forme (admise ici) :
si on note (resp. ) la vitesse de relativement au référentiel (resp. ) et la vitesse d'entraînement de relativement à .
Q19. Écrire et commenter l'expression de en fonction de et . Que devient la loi d'addition relativiste si ? Commenter.
Q20. On considère maintenant que tandis que avec . Déterminer les vitesses et correspondantes dans .
Q21. En déduire les expressions de et . Est-il possible, dans l'expérience de Fizeau, de distinguer le modèle relativiste du modèle d'entraînement partiel de Fresnel?

Partie B - Mécanique et célérité des ondes acoustiques

Ce problème Partie B étudie deux situations totalement indépendantes entre elles illustrant les liens entre la célérité des ondes acoustiques dans divers substrats et les vitesses d'objets matériels :
  • la partie décrit le lien entre la vitesse d'avalanche des grains de sable des dunes et les ondes sonores émises à cette occasion : le chant des dunes;
  • la partie II s'intéresse à la propagation des ondes acoustiques dans un fluide globalement entraîné (comme par exemple l'eau d'un courant marin océanique).

I - Le chant des dunes

Le phénomène étudié ici est connu depuis très longtemps : il s'agit de l'émission d'ondes acoustiques dans l'air qui surmonte les dunes de sable lors de micro-avalanches, c'est le chant des dunes. Des observations scientifiques réalisées depuis la fin du XIX siècle fournissent les résultats suivante : la fréquence du son émis va de 60 Hz (désert) à 1 kHz (plages) ; le chant produit lors d'écoulements disparaît lorsque le sable est humide ou mélangé avec des poussières.
Une première interprétation est alors proposée, liant le son entendu à la résonance des ondes acoustiques au sein des grains de sable formant des cavités résonantes de la dimension du diamètre des grains de sable eux-mêmes. On cherche à confronter ce modèle à quelques mesures récentes de fréquences moyennes de chant et de diamètres moyens des grains de sable (table 2, extrait de la thèse de S. Dagois-Bohy, 2010).
Dune fréquence diamètre
Al Wagan (Oman)
Dumont (USA)
Eureka (USA)
Mar de dunas (Chili)
Omega 1 (Maroc)
Tableau 2 - Caractéristiques du chant de quelques dunes
Q22. Rappeler la relation liant la fréquence fondamentale d'oscillation d'une corde vibrante fixée aux deux extrémités d'une cavité de longueur en fonction de la célérité de l'onde. Sachant que la célérité des ondes acoustiques dans un solide (comme le sable) est nettement supérieure à sa célérité dans l'air ( à ), que penser de ce premier modèle?
Une autre interprétation de ce phénomène a été proposée au Laboratoire Matière et Systèmes Complexes de l'université Paris-Cité. Dans ce cadre une partie de l'écoulement des grains de sable de la dune «a une vitesse homogène, comme un bloc solide ». On décrira la dune de sable comme un empilement compact de sphères de diamètre , alignées en formant un angle avec l'horizontale (figure 5, à gauche) et dont les grains de la couche supérieure sont susceptibles de glisser vers le bas.
Figure 5 - Modèle de glissement d'une bille sur une couche de sable
On étudie (figure 5, à droite) le mouvement de glissement sans aucun frottement d'un grain de sable sphérique, homogène de masse , dont le barycentre passe de la position initiale à la position finale ; il reste en permanence au contact des grains, supposés fixes, de la couche inférieure.
Q23. Exprimer en fonction de et l'énergie potentielle de pesanteur du grain mobile. Montrer qu'il existe une valeur minimale de qui empêche la position initiale de former un équilibre stable.
Q24. On ne suppose pas forcément que mais, sous l'influence par exemple du vent, le grain étudié débute en un mouvement de translation circulaire de centre avec la vitesse . En l'absence de tout frottement, déterminer sa vitesse lorsque le centre du grain parvient en en fonction de et . On pourra remarquer que .
Q25. Avant de recommencer à tourner autour du grain suivant, l'arrivée en se traduit par un choc avec dissipation d'une fraction de l'énergie cinétique ; ainsi la translation circulaire suivante recommence avec . Expliciter en fonction de et et en déduire que la vitesse d'un grain tend vers une limite telle que où on exprimera la grandeur en fonction de et .
On suppose enfin que le mouvement des grains pendant la totalité de l'avalanche se fait à vitesse quasiment constante telle que . Les grains de sable heurtent alors périodiquement la couche sur laquelle ils glissent et émettent le son identifié comme le chant de la dune.
Q26. Expliciter la fréquence de l'émission sonore par l'avalanche des chocs des grains de sable. Les données de la table 2 sont elles compatibles avec ce modèle? Si oui, estimer la constante . Selon vous, ce modèle reste-il pertinent dans le cas du chant des plages?

II - Propagation des ondes acoustiques et entraînement par l'eau

On s'intéresse dans cette partie II à la propagation d'ondes acoustiques dans l'eau, en présence du champ de pesanteur d'intensité et d'un éventuel mouvement d'ensemble de l'eau (circulation dans une canalisation, courant marin...) de vitesse uniforme et constante . Ainsi, la pression et la vitesse dans l'eau seront caractérisées, en notations complexes, par :
où désigne la répartition statique de pression (en l'absence d'onde) avec, à la surface libre de l'eau, bar ; on se limitera à et où désignera la célérité de l'onde ainsi étudiée. On rappelle l'équation dynamique de Navier-Stokes qui lie les évolutions de la pression , de la vitesse et de la masse volumique en fonction de la viscosité dynamique de l'eau :
Q27. En déduire l'expression de puis une forme simplifiée de l'équation de Navier-Stokes.
Dans toute la suite on pourra noter les expressions complexes de la pression , de la masse volumique et de la vitesse . Dans ces expressions, et désignent les valeurs moyennes en l'absence d'onde tandis que , et désignent les (petites) fluctuations de ces grandeurs dues à l'onde.

II. 1 - Propagation et atténuation des ondes acoustiques

Q28. Rappeler la définition de la compressibilité de l'eau en en déduire le lien entre les fluctuations de la pression et de la masse volumique, en se limitant au premier ordre.
Dans l'eau, l'intensité acoustique (des sonars par exemple) est mesurée par où ; les sonars les plus puissants atteignent (exceptionnellement) , dépassant ainsi les chants des baleines qui atteignent au maximum .
On s'intéresse d'abord à la propagation des ondes acoustiques dans un fluide parfait ( ) en l'absence de courant d'ensemble ( ).
Q29. Établir les deux équations linéarisées et . En déduire la célérité des ondes acoustiques dans l'eau et faire l'application numérique.
Q30. Dans le cas des ondes émises lors du chant d'une baleine près de la surface libre de l'eau, estimer et commenter les amplitudes des ondes de masse volumique et de vitesse .
On cherche maintenant à connaître l'effet de la prise en compte de la viscosité de l'eau sur la propagation des ondes acoustiques. On exprime à cet effet l'équation de dispersion donnant en fonction de et d'autres caractéristiques du fluide ( peut être une fonction complexe). En l'absence de viscosité, .
Q31. Montrer que et exprimer en fonction de et . Proposer une interprétation simple de la grandeur et commenter sa valeur numérique.
Q32. On lit dans la littérature technique que l'atténuation des ondes acoustiques dans l'eau est faible dans le domaine audio basse fréquence; à plus haute fréquence et pour les ultrasons elle s'exprime par un coefficient d'atténuation qui s'exprime en décibel par kilomètre. Justifier cette affirmation puis exprimer le coefficient en fonction notamment de la viscosité de l'eau, avant de proposer un application numérique pour deux domaines de fréquences dont vous justifierez le choix. Comparer aux mesures effectuées dans l'atlantique pour lesquelles aux fréquences audio, et conclure.

II. 2 - Entraînement de l'onde acoustique par un courant d'ensemble

On revient ici à l'étude des ondes acoustiques dans un fluide parfait ( ) mais on tient compte de la vitesse d'ensemble de l'eau, uniforme et constante ; l'onde se propage dans une direction caractérisée par le vecteur d'onde réel où et est un vecteur unitaire. La vitesse des courants océaniques en particulier vérifie .
Q33. Proposer un ordre de grandeur pour , en kilomètre par heure. Expliciter ensuite et avec et en vous limitant aux termes du premier ordre en et .
Q34. Montrer les deux équations et et expliciter la grandeur en fonction de et .
Q35. En déduire la célérité des ondes acoustiques en fonction de et de la valeur obtenue dans l'eau au repos. Peut-on parler de loi de composition des vitesses?

Données numériques

Grandeur notation valeur unité
Accélération de la pesanteur au sol 9,8
Célérité de la lumière dans le vide
Compressibilité isentropique de l'eau
Constante de la gravitation universelle
Distance moyenne Jupiter-Soleil m
Distance moyenne Jupiter-Io m
Distance minimale de Mercure au Soleil m
Distance maximale de Mercure au Soleil m
Jour (solaire moyen) 24 h 86400 s
Masse du Soleil kg
Masse volumique moyenne de l'eau
Période de révolution terrestre (année) 365 jour
Rayon moyen du Soleil m
Rayon moyen de Jupiter m
Seconde d'arc rad
Unité astronomique (distance Terre-Soleil) m
Viscosité dynamique de l'eau

Suite arithmético-géométrique

Si où , la suite réelle tend, pour , vers la limite , quelle que soit la valeur initiale .

Quelques intégrales trigonométriques

Analyse vectorielle en coordonnées cartésiennes :

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