Centrale Physique 1 PC 2011

Ce problème est composé de trois parties indépendantes ayant pour thème commun la physique . . . d'une activité physique.

Le skimboard est un sport qui se pratique au bord de la plage. Cette partie s'intéresse à une pratique nommée «flat». À marée basse, l'eau qui se retire lentement laisse des étendues où seule subsiste une mince couche d'eau. Le sportif lance une planche devant lui, court et monte dessus : il peut ainsi glisser sur plusieurs mètres. La planche est légèrement inclinée : l'avant pointant vers le haut. Messieurs Tuck et Dixon de l'Université d'Adélaïde (Australie) ont proposé le modèle suivant pour rendre compte du mouvement de la planche.
Le référentiel lié à la plage est supposé galiléen. L'eau est assimilée à un fluide parfait incompressible de masse volumique . Elle est surmontée par de l'air à la pression ou par la planche. L'écoulement de l'eau est supposé plan. L'influence de la gravité est négligée dans l'étude de l'écoulement. La planche, supposée rectangulaire de largeur , se déplace à la vitesse constante par rapport au référentiel lié à la plage et fait un angle avec l'horizontale (dit angle d'attaque) supposé petit dans tout le problème. Loin de la planche, l'eau est supposée au repos dans le référentiel lié à la plage.
La figure 1 représente quelques paramètres du problème dans le référentiel lié à la planche. Le mouvement de la planche provoque un jet d'eau d'épaisseur qui se détache de l'avant de la planche.

Au-dessus de la ligne de courant en pointillé, l'eau constitue le jet. En-dessous, l'eau s'écoule vers l'arrière de la planche. Loin à l'avant de la planche, la hauteur d'eau est tandis qu'elle vaut derrière. La surface de la planche qui n'est pas en contact avec le jet est dite «surface mouillée». Elle est de longueur . La hauteur d'eau désigne la hauteur du point de stagnation (défini comme l'intersection de la planche et de la ligne de courant en pointillé).
On notera la quantité de mouvement d'un système par rapport au référentiel R et on définit .
Sauf indication contraire, l'étude sera menée dans le référentiel lié à la planche où l'écoulement est stationnaire.

Dans cette sous-partie on travaillera dans la région située sous la surface mouillée ( ). On suppose que la hauteur d'eau , la pression dans l'eau et le champ des vitesses dans l'eau ne dépendent que de l'abscisse du point de l'écoulement considéré. Le champ des vitesses est a priori bidimensionnel mais en de nombreux points de l'écoulement la composante verticale de la vitesse est négligeable devant la composante horizontale ainsi . On note où est l'abscisse du point de stagnation.

a) En faisant un bilan de masse sur un système que vous expliciterez, montrer la relation .
b) Rappeler l'équation locale de conservation de la masse. À quelle relation entre et mène-t-elle? Cette relation est en contradiction avec la relation précédente : lever le paradoxe.
c) Dans le cadre de ce modèle, l'écoulement est-il rotationnel ? On justifiera.
d) Rappeler l'énoncé du théorème de Bernoulli approprié à ce modèle et le démontrer.

a) Soit désignant l'abscisse d'un point situé sur la surface mouillée de la planche, montrer que :

b) Établir une expression de en fonction de et .
c) On suppose que la pression de l'eau au contact de la surface non mouillée de la planche est . La résultante totale des forces de pression que les fluides exercent sur la planche possède deux composantes : . On cherche leurs expressions approchées dans le cadre des faibles valeurs de l'angle . Montrer que

où l'on donnera l'expression de en fonction de et . Établir l'expression de .
d) Soit un point situé à l'arrière de la planche. Justifier précisément que le moment des forces de pression par rapport à l'axe ( ) est

où l'on exprimera en fonction de données de l'énoncé. On ne demande pas de calculer cette intégrale.
e) Un calcul, que l'on ne demande pas de mener, permet d'établir que où f est une fonction de . Exprimer, en fonction de , et , la distance de l'axe ( ) à laquelle doit se placer le sportif pour qu'il puisse être à l'équilibre dans (on supposera que la planche possède une masse négligeable devant celle du sportif). On admettra que .

On se propose, par un bilan de quantité de mouvement, de retrouver la résultante des forces de pression s'exerçant sur la planche.
a) En choisissant comme système fermé , l'eau contenue dans le volume situé sous la planche entre les abscisses et (zone hachurée sur la figure 2) et celle qui va pénétrer dans ce volume entre les dates et , trouver une relation liant et .

b) On note la pression en . Montrer que la composante selon l'axe de la résultante des forces s'exerçant sur peut s'écrire .
c) Retrouver les expressions de et établies à la question I.A.2c.

I.B.1) L'expression de la résultante des forces de pression sur la planche établie dans les questions précédentes en régime stationnaire persiste (approximativement) en régime non stationnaire. On note la masse du sportif et de la planche. En se plaçant dans le référentiel lié à la plage, montrer que est solution de l'équation : .
I.B.2) On suppose connu.
a) Établir l'expression de la fonction . On fera intervenir les paramètres suivants: et .
b) Si l'angle est constant, expliquer en une phrase pourquoi il est nécessaire que la vitesse dépasse une valeur minimale.
c) Un professeur de physique a filmé son fils en train de faire du skimboard au bord de la plage. La largeur de la planche est , sa longueur . Il mesure que le skimboard a été lancé avec une vitesse initiale et faisait un angle constant pratiquement égal à .
On a tracé figure 3 la courbe avec les paramètres du problème ( , est exprimé en mètre et en mètre par seconde. Estimer la distance parcourue par l'enfant.

I.B.3) Le modèle néglige une ou plusieurs forces. Laquelle ou lesquelles?

On se propose dans cette partie de montrer la nécessité de l'existence du jet d'eau pour assurer la consistance du modèle.
I.C.1) En choisissant, comme système fermé , l'eau contenue dans le volume hachuré figure 4 et celle qui va pénétrer dans ce volume entre les dates et , trouver une relation liant et .

I.C.2) En déduire une relation liant et . Conclure.
I.C.3) Donner un ordre de grandeur de en utilisant les données numériques de la question I.B pour une vitesse .

Lorsqu'on lance judicieusement une pierre au-dessus d'un lac, elle peut rebondir à plusieurs reprises avant de finir sa course ... au fond du lac. Chaque rebond se nomme «ricochet». On se propose d'étudier dans cette partie un modèle simple d'interaction entre un galet et l'eau pour expliquer les ricochets.

On définit un référentiel lié à l'eau, supposé galiléen, l'origine des étant prise au niveau de la surface libre lorsqu'elle est non déformée par le galet. L'axe est dirigé selon la verticale ascendante. Le galet est un carré de côté , d'épaisseur négligeable, de masse . Lorsqu'il frappe l'eau, on considère qu'il est basculé d'un angle (supposé constant) autour d'un axe horizontal et que son centre d'inertie possède une vitesse faisant l'angle avec l'horizontale (voir figure 5). On considère que le galet déforme la surface libre de l'eau comme indiqué sur la figure; il reste ainsi au-dessus de la surface déformée pendant toute la phase du ricochet. Si le bord supérieur du galet devait descendre sous la surface libre alors l'eau entourerait celui-ci et le galet coulerait.

L'enfoncement du galet sera repéré par la cote de son extrémité inférieure. On définit par ailleurs une base locale de projection composée du vecteur normal au galet et du vecteur tangent comme indiqué sur la figure 5. Au cours de son mouvement en contact avec l'eau, on admettra que le galet subit la force

où est la surface immergée du galet (c'est-à-dire la surface du galet en contact avec le liquide), la vitesse de son centre d'inertie, la masse volumique du liquide, et des coefficients supposés constants et positifs.

En aucune façon on ne considère de rotation du galet qui subit donc un simple mouvement de translation.
II.A.1) Donner l'expression de en fonction de la variable et des paramètres du problème.
II.A.2) Écrire les équations du mouvement du galet, en projection sur les axes et , sous l'effet de la force et de son poids.
Pour simplifier la résolution de ces équations on considère que, dans l'expression de la force , la norme de la vitesse reste constante pendant cette phase et égale à sa vitesse initiale . On discutera de cette hypothèse à la question II.A.5.
II.A.3) a) Montrer que vérifie une équation différentielle du type où est un paramètre que l'on exprimera en fonction de et supposé positif.
b) Résoudre cette équation avec .
c) Déterminer la profondeur maximale atteinte en fonction de et .
d) Montrer que le galet ne coule pas si (on note )

Application numérique : déterminer la valeur minimale de pour que le galet ne coule pas si , .
II.A.4) Le temps de rebond est le temps qu'il faut pour que le galet repasse en . Écrire l'équation donnant . Justifier rapidement que, vu les ordres de grandeur (on prendra ), .
Dans ces conditions que vaut la composante selon l'axe de la vitesse au moment où le galet ressort de l'eau?
II.A.5) On note la composante de selon l'axe et la variation de entre les instants d'entrée et de sortie du galet de l'eau.
a) Montrer que

et faire l'application numérique avec les données des questions II.A. 3 et II.A.4.
b) Quelles hypothèses doivent être vérifiées afin qu'il soit légitime de considérer que dans l'expression de la force?

et désignent les composantes de la force selon les axes et .
II.B.1) a) On note la variation d'énergie cinétique du galet entre son entrée et sa sortie dans l'eau. Démontrer que :

b) En supposant que , montrer que

où l'on exprimera en fonction des données du problème.
c) Justifier alors qu'on puisse écrire, en faisant une approximation que l'on explicitera, et montrer que est en fait indépendant de .
II.B.2) Calculer le nombre de ricochets que l'on peut obtenir dans le cadre de ce modèle avec les données numériques précédentes. À titre indicatif le record du monde 2007 détenu par Russell Byars est de 51 ricochets.

Le skeleton est un sport d'hiver qui se pratique dans un couloir de glace en pente : le coureur s'allonge sur une planche qui glisse sur la glace en prenant appui sur des patins.

Figure 6

L'ensemble coureur + skeleton est assimilé à un solide de masse pouvant glisser sans frottement. Il franchit la ligne d'arrivée avec une vitesse et se ralentit simplement en montant une pente faisant un angle avec l'horizontale. Déterminer la longueur de piste nécessaire au ralentissement.
Application numérique : on prendra et et on considérera une pente de .
L'infrastructure ne se prêtant pas à la réalisation d'une piste inclinée de décélération on envisage un autre type de freinage ; c'est ce freinage et ses conséquences que l'on va étudier dans la suite du problème.

On fixe sous la planche un cadre métallique conducteur ayant la forme d'un rectangle de côtés .

La piste de décélération est horizontale ; on considérera un référentiel ( ) galiléen lié au sol : l'origine est prise au point d'arrivée, l'axe le long de la piste de décélération (qui correspond donc à ), l'axe selon la verticale ascendante. Un dispositif adéquat crée un champ magnétique stationnaire et uniforme sur toute ou partie de la longueur de piste de décélération (et sur toute la largeur de la piste).
III.B.1) Le champ magnétique est étendu à toute la zone .
a) La position du cadre est repérée par l'abscisse de son extrémité avant et on suppose à . Établir l'équation différentielle à laquelle obéit la vitesse ; on distinguera deux phases dans le mouvement.
Mettre en évidence un temps caractéristique que l'on exprimera en fonction de et (résistance du cadre).

b) Déterminer pendant la phase de décélération et montrer que l'engin ne stoppe qu'à condition que soit supérieure à une certaine valeur que l'on précisera. Montrer par une application numérique que ceci n'est pas réalisé et déterminer la vitesse finale du skeleton. En tout état de cause serait-il réaliste de n'envisager que ce freinage pour arrêter l'appareil?
On donne : et .
III.B.2) On suppose à présent que le champ magnétique (stationnaire et uniforme) n'est non nul que dans la zone comprise entre et .

a) Si , montrer qualitativement qu'il existe deux phases de freinage séparées par une phase où la vitesse reste constante et déterminer la vitesse à l'issue des deux phases de freinage.
b) Même question si .
c) Quelle valeur doit-on donner à , en fonction de , pour optimiser le freinage ?
III.B.3) On place zones de freinage identiques à la précédente séparées les unes des autres d'une distance . Quelle doit être la distance pour encore une fois optimiser le freinage ?
Quelle valeur donner à pour stopper le skeleton? En déduire la distance d'arrêt et comparer sa valeur numérique aux valeurs trouvées à la question III.B. 1 et à la question préliminaire.
III.B.4) Applications numériques
a) Quelle est la durée de chaque phase de freinage ? Quelle devrait être la durée totale du freinage ? Conclusion?
b) On peut alors choisir un freinage «hybride»: freinage électromagnétique d'abord jusqu'à ce que la vitesse soit , puis freinage mécanique ensuite. Déterminer la durée du freinage électromagnétique ainsi que le nombre de zones de champ nécessaire.
III.C - Refroidissement du cadre
III.C.1) Dans un milieu homogène et isotrope caractérisé par sa masse volumique , sa capacité thermique massique et sa conductivité thermique établir l'équation aux dérivées partielles à laquelle obéit le champ de température .
On se préoccupe de l'élévation de température dans le cadre consécutive au passage du courant.
III.C.2) On modélise les côtés du cadre comme des cylindres de rayon (et de section ) dans lequel la température ne dépend que de , distance à l'axe, et du temps . Le cadre est en cuivre :

Donner et calculer le temps caractéristique des transferts thermiques dans le cylindre et comparer ce temps au temps d'arrêt de l'engin calculé à la question III.B.4b. Commenter.
Dans toute la suite du problème la température du cadre sera considérée comme uniforme : ne dépendant que du temps éventuellement.
III.C.3) Considérant qu'on puisse négliger les transferts thermiques vers l'extérieur pendant la phase d'échauffement, déterminer ainsi la variation de température du cadre en fonction de (masse du cadre), , et (on considérera, pour simplifier, que la vitesse est nulle à l'issue de la phase de freinage électromagnétique). On fera l'application numérique.
III.C.4) Après arrêt du skeleton le cadre se refroidit. Au cours de cette phase de refroidissement, la température du cadre est supposée uniforme mais dépendant du temps : passe ainsi de à température de l'air, supposée uniforme et constante. Les transferts thermiques entre le cadre et l'air ont lieu selon un mode dit conducto-convectif; il y a une discontinuité de température entre le cadre et l'air : la température est différente de . La puissance thermique transférée vers l'air par unité de surface latérale du cylindre est où est un coefficient supposé positif et constant.
a) Déterminer l'équation différentielle satisfaite par et donner le temps caractéristique du refroidissement en fonction des paramètres déjà introduits.
b) Application numérique

Déterminer ce temps avec .
III.C.5) On a l'idée d'entourer le cadre cylindrique d'un manchon isolant thermique. Le manchon isolant est de conductivité thermique et de rayon .

a) On commence par raisonner en régime supposé permanent : la température du cadre est indépendante de . Le champ de température dans l'isolant ne dépend que de on note la température dans l'isolant. Entre l'isolant et l'air (de température toujours supposée égale à ) existe encore un transfert thermique de type conducto-convectif possédant les mêmes caractéristiques que précédemment à ceci près que la température doit être remplacée par . Ce mode de transfert n'existe pas entre le cadre et l'isolant, on a donc .
Établir l'équation différentielle vérifiée par puis montrer que la puissance thermique cédée par l'unité de longueur du cadre peut s'écrire

où étant une constante que l'on exprimera en fonction de et . À quoi correspond cette constante ?
b) Tracer la courbe montrant la dépendance de avec ; on fera apparaître deux types de comportement possibles que l'on interprétera physiquement.
On donne déterminer l'épaisseur d'isolant à placer pour que le refroidissement s'effectue le plus rapidement possible.
c) On suppose le régime quasi-permanent : les résultats précédents sont supposés pouvoir être appliqués à chaque instant. Déterminer le nouveau temps caractéristique du refroidissement du cadre lorsque l'isolant a l'épaisseur calculée ci-dessus.