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Centrale Option Informatique MP 2024

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Centrale MP Centrale 2024 MP Info Info 2024

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Créer un réseau routier entre différentes villes, en s'autorisant des intersections intermédiaires, dont la longueur totale est minimale est un problème très difficile à résoudre. Ce problème est une généralisation de deux problèmes pourtant faciles à résoudre: la recherche d'arbre couvrant de poids minimal, correspondant au cas où il n'y a pas d'intersections intermédiaires, et la recherche de plus court chemin, correspondant au cas où on ne souhaite relier que deux villes.

En 1836, un an seulement après l'apparition d'une ligne de train en Allemagne, Carl Friedrich Gauß s'interrogeait dans une lettre à l'astronome Christian Schumacher sur la meilleure manière de relier les villes de Hambourg, Brême, Hanovre et Brunswick par un réseau ferré.

Figure 1 Les quatre villes allemandes et une manière théoriquement optimale de les relier.

De tels arbres trouvent des applications dans la construction de réseaux (électroniques, routiers, ...). Ils peuvent également apparaître dans des phénomènes naturels : des films de savon reliant des tiges entre deux plaques peuvent former un arbre avec des points intermédiaires.

Figure 2 Films de savon reliant des tiges métalliques entre deux plaques de plexiglas. Il y a trois sommets intermédiaires.

La partie I de ce problème étudie des généralités sur les arbres couvrants et une fonction de tri. La partie II présente l'algorithme de Kruskal inversé pour trouver un arbre couvrant de poids minimal dans un graphe

connexe. La partie III montre la complexité du problème d'optimisation de réseau en se ramenant au problème de satisfiabilité. Enfin, la partie IV présente comment approcher une solution au problème d'optimisation en utilisant des arbres couvrants.

Consignes aux candidates et candidats

On identifiera une même grandeur écrite dans deux polices de caractères différentes, en italique du point de vue mathématique (par exemple

) et en Computer Modern à chasse fixe du point de vue informatique (par exemple n).

Les candidates et candidats devront répondre aux questions de programmation en utilisant le langage OCaml. S'ils écrivent une fonction non demandée par l'énoncé, ils devront préciser son rôle, ainsi que sa signature (son type). Les candidates et candidats sont également invités, lorsque c'est pertinent, à décrire le fonctionnement global de leurs programmes. On autorisera toutes les fonctions des modules Array et List, ainsi que les fonctions de la bibliothèque standard (celles qui s'écrivent sans nom de module, comme max, incr ainsi que les opérateurs comme ©). Sauf précision de l'énoncé, l'utilisation d'autres modules sera interdite.

Lorsqu'une question de programmation demande l'écriture d'une fonction, la signature de la fonction demandée est indiquée à la fin de la question. Les candidates et candidats pourront écrire une fonction dont la signature est compatible avec celle demandée. Par exemple, si l'énoncé demande l'écriture d'une fonction int list -> int qui renvoie le premier élément d'une liste d'entiers, écrire une fonction 'a list

'a qui renvoie le premier élément d'une liste d'éléments quelconques sera considéré comme correct.

Une annexe disponible en fin de sujet rappelle différentes fonctions en OCaml.

Définitions et notations

Pour un ensemble fini

, on note

le cardinal de

. On note

l'ensemble des paires d'éléments de

, c'est-à-dire les sous-ensembles de

de cardinal 2 .

On définit un graphe non orienté comme un couple

tel que

est un ensemble fini d'éléments appelés sommets et

un ensemble de paires d'éléments distincts de

appelées arêtes, c'est-à-dire

. S'il n'y a pas d'ambiguité, une paire

sera notée

. Si st est une arête du graphe, on dit que

sont adjacents. Le graphe

est représenté sur la figure 3.

On appelle sous-graphe de

un graphe

tel que

. Si

, on appelle sous-graphe induit par

le graphe

, c'est-à-dire le graphe ayant

comme ensemble de sommets et contenant toutes les arêtes de

dont les deux extrémités sont dans

Pour

, on appelle chaîne de

une suite de sommets distincts (

) telle que

et pour

. On appelle cycle de

une suite de sommets (

) telle que

est une chaîne,

Un graphe est dit connexe s'il existe toujours une chaîne entre deux sommets distincts. Si

, on appelle composante connexe de

un sous-ensemble

tel que

est connexe et pour tout

n'est pas connexe.

Un graphe est dit un arbre (à différencier des arbres enracinés) s'il est connexe et ne contient pas de cycle. On dit qu'un sous-graphe

qu'il est un arbre couvrant si

est un arbre.

On appelle graphe pondéré un triplet (

) tel que (

) est un graphe et

est une fonction qui à chaque arête associe un poids qui est un réel positif. La figure 3 contient une représentation graphique d'un graphe pondéré

Dans un graphe pondéré

, le poids d'un sous-graphe

est la somme des poids des arêtes qui le composent, c'est-à-dire

Figure 3 Les graphes

I Généralités

Q1. Dessiner sans justifier un arbre couvrant de

de poids minimal.
Q 2. Soit

un graphe non orienté. Montrer les deux propriétés suivantes :

Si est connexe, alors .
Si est sans cycle, alors .

Q 3. En déduire l'équivalence entre les trois propriétés suivantes, pour

un graphe non orienté :

est un arbre.
est connexe et .
est sans cycle et .

Pour les deux questions suivantes, on suppose que

est un graphe pondéré tel que

est injective (toutes les arêtes ont un poids différent).

Q 4. Montrer que

possède un unique arbre couvrant de poids minimal.
Q 5. Soit

l'unique arbre couvrant de poids minimal de

. On suppose que

est une arête dont le poids est maximal dans un cycle de

. Montrer que

Les trois questions qui suivent ont pour objectif d'implémenter un algorithme de tri efficace.
Q 6. Écrire une fonction separation telle que si lst est une liste, alors separation lst renvoie un couple (lst1, lst2) tel que chaque élément de lst apparaît soit dans lst1, soit dans lst2, et les tailles de lst1 et lst2 diffèrent d'au plus 1 .
separation : 'a list -> 'a list * 'a list
Q 7. Écrire une fonction fusion telle que si lst1 et lst2 sont deux listes triées par ordre croissant, alors fusion lst1 lst2 renvoie une liste triée par ordre croissant contenant tous les éléments de lst1 et lst2.
fusion : 'a list -> 'a list -> 'a list

Q 8. En déduire une fonction tri_fusion qui prend en argument une liste et renvoie une liste triée par ordre croissant contenant les mêmes éléments. Quelle est la complexité temporelle de cette fonction? (On ne demande pas de justifier.)
tri_fusion : 'a list -> 'a list

II Algorithme de Kruskal inversé

Q 9. Rappeler le principe de l'algorithme de Kruskal et sa complexité temporelle en fonction de

lorsqu'il est appliqué à un graphe pondéré connexe

L'algorithme de Kruskal inversé est une variante de l'algorithme de Kruskal qui permet de trouver un arbre couvrant de poids minimal dans un graphe pondéré connexe. En voici une description en pseudo-code.

Entrées : Graphe pondéré $G=(S, A, f)$ non orienté connexe
$B \leftarrow$ copie de $A$
Trier $B$ par ordre décroissant de poids
pour $a \in B$ par ordre décroissant de poids faire
    si $(S, B \backslash\{a\})$ est connexe alors
        $B \leftarrow B \backslash\{a\}$
    fin si
fin pour
renvoyer $(S, B)$

Algorithme 1 Algorithme de Kruskal

Q 10. Appliquer l'algorithme de Kruskal inversé au graphe

de la figure figure 4 . On ne demande pas la description de l'exécution détaillée, mais simplement une représentation graphique de l'arbre obtenu.

Figure 4 Le graphe pondéré

On implémente un graphe pondéré par tableau de listes d'adjacences en OCaml, selon le type suivant :

type graphe = (int * float) list array

est implémenté par un objet g de type graphe, alors :

l'ensemble des sommets est , où ;
g est un tableau de taille tel que pour tout . (s) est une liste contenant des couples ( ) tels que et .

Les listes d'adjacence ne sont pas nécessairement supposée triées par ordre croissant des sommets ou des poids. Par exemple, le graphe

de la figure 3 peut être créé par la commande :

let g2 = [|[(2, 7.); (3, 6.); (1, 10.); (4, 7.)]; [(2, 5.); (0, 10.)];
    [(0, 7.); (1, 5.); (3, 9.)]; [(0, 6.); (2, 9.)]; [(0, 7.)]|]

On rappelle que les opérations de comparaisons (max, min,

) peuvent s'effectuer sur des uplets selon l'ordre lexicographique.

Q 11. Écrire une fonction tri_aretes telle que si g est la représentation d'un graphe pondéré

, alors tri_aretes g renvoie la liste des triplets (

), triée par ordre décroissant des

, tels que

. Cette liste ne devra pas contenir de doublons.

tri_aretes : graphe -> (float * int * int) list

Q 12. Écrire une fonction connectes telle que si g est la représentation d'un graphe pondéré

et poids_max est un flottant, alors connectes g s t poids_max renvoie un booléen qui vaut true si et seulement s'il existe un chemin de

dans

ne passant que par des arêtes dont le poids est strictement inférieur à poids_max. La fonction devra avoir une complexité linéaire en

et on demande de justifier brièvement.

connectes : graphe -> int -> int -> float -> bool

Q 13. En déduire une fonction kruskal_inverse qui prend en argument un graphe

et renvoie le graphe obtenu selon le principe de l'algorithme de Kruskal inversé. On supposera que le graphe

donné en argument est connexe et que la fonction de pondération

est injective.
kruskal_inverse : graphe -> graphe
Q 14. Montrer que si

est connexe, le graphe renvoyé par l'algorithme de Kruskal inversé appliqué à

est un arbre couvrant de

Q 15. Montrer que l'arbre couvrant renvoyé par l'algorithme de Kruskal inversé appliqué à un graphe pondéré connexe

est de poids minimal. On pourra commencer par traiter le cas où la fonction de pondération est injective.

Q 16. Déterminer la complexité temporelle de la fonction kruskal_inverse. Commenter.

III Difficulté du calcul de l'arbre optimal

Dans cette partie, on présente le problème du calcul de l'arbre optimal, appelé arbre de Steiner, et on veut montrer que c'est un problème difficile à résoudre.

Soit

un graphe non orienté connexe. On appelle arbre de Steiner de sommets terminaux

un sous-graphe de

de la forme

tel que

est un arbre et

. Les sommets de

sont appelés les sommets de Steiner. Le problème de l'arbre de Steiner consiste, étant donné un graphe

, un ensemble

et un entier

, à déterminer s'il existe un arbre de Steiner de sommets terminaux

ayant moins de

sommets de Steiner.

Q 17. Représenter graphiquement un arbre de Steiner du graphe

de la figure 3 , ayant

comme sommets terminaux et ayant moins de 2 sommets de Steiner. Justifier qu'il n'en existe pas ayant moins de 1 sommet de Steiner.

Pour montrer la difficulté de ce problème, on se ramène au problème de satisfaisabilité d'une formule booléenne.
On rappelle qu'un littéral est une variable ou la négation d'une variable. Une clause est une disjonction (

) de littéraux. Une forme normale conjonctive (FNC) est une conjonction

de clauses. Une formule

est dite en 3-FNC si elle est en forme normale conjonctive telle que chaque clause contient au plus trois littéraux.

On admet qu'étant donnée une formule propositionnelle

en 3-FNC, il est difficile de savoir si

possède un modèle, c'est-à-dire une valuation qui la satisfait.

III.A - De la satisfaisabilité au stable

Soit

un graphe non orienté. On dit qu'une partie

est un stable si c'est un ensemble de sommets deux à deux non adjacents, c'est-à-dire si pour

Q 18. Déterminer, en justifiant, un stable de cardinal maximal dans le graphe

représenté figure 3 .
Soit

un ensemble de variables et

une formule booléenne en 3-FNC, de la forme

, où

, les

étant des littéraux (de la forme

) et

.
On définit le graphe

par :

contient un sommet par littéral apparaissant dans une clause, c'est-à-dire où :

contient les arêtes entre chaque sommet associé à une même clause, et entre les sommets associés à une variable et sa négation :

La figure 5 représente le graphe

pour

Figure 5 Le graphe

pour

Q 19. Tracer le graphe

pour

.
Q 20. Montrer que s'il existe un stable

de taille

dans

, alors

est satisfaisable. On expliquera comment construire un modèle de

en fonction de

Q 21. De même, montrer que si

est satisfaisable, alors il existe un stable de taille

dans

III.B - Du stable à l'arbre de Steiner

est un graphe non orienté, on pose

un graphe tel que:

contient et un nouveau sommet par arête de , c'est-à-dire :

contient toutes les arêtes entre deux sommet de , et des arêtes entre chaque sommet vers chacune des extrémités de , c'est-à-dire :

Par exemple, la figure 6 est une représentation de

où

est le graphe de la figure 3 .

Figure 6 Une représentation de

. Pour simplifier, on a renommé chaque sommet

par

Q 22. Montrer que s'il existe un stable de

de cardinal

, alors le graphe

admet un arbre de Steiner ayant

comme sommets terminaux et

sommets de Steiner.

Q 23. Réciproquement, montrer que si le graphe

admet un arbre de Steiner ayant

comme sommets terminaux et

sommets de Steiner, alors

admet un stable de cardinal

Q 24. En déduire que si on sait trouver un arbre de Steiner ayant un nombre minimal de sommets de Steiner en temps polynomial, on peut déterminer la satisfaisabilité d'une formule propositionnelle en 3-FNC en temps polynomial.

IV Approximation du problème

Étant donné un graphe pondéré

et un sous-ensemble

, le problème de l'arbre de Steiner pondéré consiste à déterminer un sous-graphe

tel que

est un arbre et

est minimal.

On peut voir que le problème de l'arbre de Steiner pondéré est plus difficile que le cas non pondéré, qui n'est qu'un cas particulier où tous les poids sont égaux à 1 . Malgré sa difficulté, il est possible de calculer en temps polynomial un arbre de Steiner pondéré dont le poids est moins du double d'un arbre optimal.

IV.A - Algorithme de Floyd-Warshall

L'algorithme de Floyd-Warshall est un algorithme de programmation dynamique permettant de calculer toutes les distances pondérées entre deux sommets d'un graphe pondéré.

On rappelle que la représentation de

par matrice d'adjacence est une matrice

de dimensions

, où

, telle que pour

s'il existe

, et

sinon.

En OCaml, infinity est un flottant qui se comporte comme

: plus grand que tous les autres flottants et absorbant par addition ou par multiplication par un flottant strictement positif.

Q 25. Écrire une fonction matrice_adjacence qui prend en argument un graphe et renvoie sa matrice d'adjacence.
matrice_adjacence : graphe -> float array array
Soit

un graphe pondéré. Si

est une chaîne de

, le poids de

est

. Pour

, on appelle distance de

, notée

(ou

s'il n'y a pas d'ambiguïté sur le graphe), le poids minimal d'une chaîne de

. S'il n'existe pas de telle chaîne, on pose

par convention. On remarque qu'avec une telle définition, pour

L'algorithme de Floyd-Warshall permet de calculer les distances des sommets deux à deux en considérant une suite de matrices

, pour

définies de la manière suivante : pour

est le poids minimal d'une chaîne de

dont les sommets intermédiaires (autres que les extrémités) sont strictement inférieurs à

Q 26. Que vaut

?
Q 27. Montrer que pour

.
Q 28. Écrire une fonction floyd_warshall qui prend en argument une matrice d'adjacence

d'un graphe

et renvoie un couple (dist, pred) de matrices

telles que pour (

)

dist. (s). (t) est un flottant correspondant à ;
pred. (s). (t) est le prédécesseur de dans un chemin de poids minimal de à si un tel chemin existe, et -1 sinon.
floyd_warshall : float array array -> float array array * int array array
Q 29. Déterminer la complexité temporelle de la fonction floyd_warshall.
Q 30. Écrire une fonction chaine_min qui prend en argument une matrice pred telle que décrite à la Q 28 et deux sommets et et renvoie une chaîne de poids minimal de à sous la forme d'une liste de ses sommets. La fonction renverra une liste vide s'il n'existe pas de tel chemin.
chaine_min : int array array -> int -> int -> int list

IV.B - Solution approchée

En considérant

un graphe pondéré non orienté connexe et

, la solution approchée pour le problème de l'arbre de Steiner est donnée par l'algorithme suivant :

poser est un graphe complet entre les sommets de , dont les pondérations sont données par les distances dans (c'est-à-dire ) ;
calculer un arbre couvrant de poids minimal de ;
pour chaque arête , la remplacer dans par une chaîne de poids minimal dans , en rajoutant les sommets nécessaires. Le sous-graphe de obtenu sera noté .
calculer et renvoyer un arbre couvrant de poids minimal de .

Q 31. Montrer que l'arbre

est un arbre de Steiner de

ayant

pour sommets terminaux.
Q 32. Montrer que si

possède des sommets de Steiner de degré 1 , leur suppression permet d'obtenir un arbre de Steiner ayant

pour sommets terminaux de poids inférieur.

On pose

un arbre de Steiner de poids minimal parmi ceux ayant

comme sommets terminaux.
Q 33. Montrer que

, puis en déduire que

.
On représente une partie

comme un tableau de booléens tab_X de taille

tel que pour

si et seulement si tab_X. (s) vaut true.

Pour créer un graphe induit par une partie

en OCaml, il est nécessaire de renuméroter des sommets, via une bijection num :

Q 34. Écrire une fonction renumeroter qui prend en argument une partie

et renvoie un tableau num d'entiers de taille

tel que pour

, num. (s) vaut -1 si

et num.(s)

num(

) sinon, où num est une bijection de

choisie arbitrairement.
renumeroter : bool array -> int array
Q 35. En déduire une fonction steiner_approche qui, étant donné un graphe

et une partie

calcule un arbre de Steiner ayant

pour sommets terminaux selon l'algorithme présenté précédemment. On ne demande pas de supprimer les sommets de Steiner de degré 1.
steiner_approche : graphe -> bool array -> graphe
Q 36. Déterminer la complexité temporelle de la fonction steiner_approche en fonction de

Annexe : rappels de programmation

Cette annexe rappelle le fonctionnement de différentes fonctions des modules List et Array:

List.iter ( f : ' a -> unit) (lst: ' a list) : unit fait un appel à la fonction f pour chaque élément de la liste lst. Cette fonction s'exécute en temps linéaire en la taille de la liste, si la fonction f se calcule en temps constant ;
List.rev (lst: 'a list) : 'a list renvoie une liste contenant les mêmes éléments que lst, mais dans l'ordre inverse. Cette fonction s'exécute en temps linéaire en la taille de la liste ;
Array.length (tab: 'a array) : int renvoie la longueur du tableau tab. Cette fonction s'exécute en temps constant ;
Array.make ( n : int) ( x : ' a ) : ' a array renvoie un tableau de longueur dont toutes les cases contiennent la valeur x . Cette fonction s'exécute en temps linéaire en ;
Array.make_matrix (m: int) (n: int) (x: 'a) : 'a array array renvoie une matrice de dimension dont toutes les cases contiennent la valeur x . Cette fonction s'exécute en temps linéaire en .

Crédits : Dutta, P., Khastgir, S. P. & Roy, A. (2010). Steiner trees and spanning trees in six-pin soap films. American Journal of Physics, 78(2), 215-221.