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Centrale Mathématiques 2 TSI 2025

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrement

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Centrale TSI Centrale 2025 TSI Maths Maths 2025

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Mathématiques 2

Objectif du problème et articulations entre ses différentes parties

L'objectif du problème est d'établir une expression matricielle donnant la solution du problème de minimisation des moindres carrés classiquement utilisée en régression linéaire multiple. Cette expression est utilisée pour établir les formules classiques de la régression linéaire simple.
La partie A donne une description de l'orthogonal de l'image d'une matrice. Elle permet de construire dans la partie B , la matrice de la projection orthogonale sur un sous-espace de

. La partie C utilise cette approche dans le contexte de la régression linaire simple. Elle utilise donc des résultats de la partie B qui elle-même utilise des résultats de la partie A.

Notations et Rappels

Lorsque

sont deux entiers naturels non nuls,

désigne l'ensemble des matrices à

lignes et

colonnes à coefficients réels et

l'ensemble des matrices carrées d'ordre

à coefficients réels.
Par exemple :

Pour toute matrice

, on note

sa transposée.
On rappelle que:

.
On rappelle la définition du noyau et la définition de l'image d'une matrice

é

Le produit scalaire usuel sur

est défini pour tout

par :

Pour tout

, on note

la norme de

associée à ce produit scalaire, définie par :

L'orthogonal d'un sous-espace

pour ce produit scalaire est défini par :

Partie A - L'égalité

Q1. Soient

les vecteurs colonnes d'une matrice

.
Pour tout

, déterminer

tel que

.
Montrer que la famille (

) est une famille génératrice de

I - Un premier exemple

Dans cette partie, on prend

.
Q2. Déterminer une base de

.
Q3. Montrer que

II - Une démonstration

Q4. Justifier que pour tout

, on a

.
Q5. Soit

. Montrer que si pour tout

alors

est nul.
Soit

.
Q6. Montrer que pour tout

et pour tout

, on a

.
Q7. En déduire que :

.
Q8. En déduire que

III - Une application

Dans cette partie

c'est-à-dire

est une matrice carrée d'ordre

à coefficients réels.
Q9. Justifier que les sous-espaces

sont supplémentaires dans

.
Q10. Justifier que les sous-espaces

sont supplémentaires dans

.
Q11. En déduire que pour tout

, il existe

tel que

. On admet que le couple (

) ainsi associé à

est unique. On note alors u l'application

Q12. Montrer que

est un endomorphisme de

.
On note

la matrice de

dans la base canonique de

.
Q13. Soit

, et (

) défini de manière unique en

.
A l'aide de la définition d'une projection orthogonale et de la question

montrer que

est le projeté orthogonal de

sur

.
En déduire que

est la matrice de la projection orthogonale sur

.
Q14. Montrer que

est la matrice de la projection orthogonale

IV - Un deuxième exemple

Jusqu'à la fin de cette partie, on prend

avec

.
On note

la base canonique de

.
Q15. Déterminer le rang de

et le rang de

Q16. Déterminer une base de chacun des espaces

. On exprimera chaque base à l'aide des vecteurs de

Q17. Vérifier que l'endomorphisme

construit en

, est l'application :

Q18. Construire la matrice

dans

.
Q19. Vérifier le résultat de la question Q14.

Partie B - Une expression de la matrice d'un projecteur orthogonal dans une base quelconque

L'espace

est muni de son produit scalaire canonique rappelé en préambule.
Soient

un sous-espace vectoriel de

de dimension

une base de

.
On note

la projection orthogonale sur

la matrice de

dans la base canonique de

.
La matrice

est donc dans

et ses colonnes sont les vecteurs

exprimés dans la base canonique de

.
Le but de cette partie est de démontrer que la matrice

est inversible et que

est la matrice de

dans la base canonique de

Q20. Justifier que

.
Q21. Montrer que :

.
Q22. Montrer que

est inversible.
Q23. Montrer que

.
Q24. Montrer que pour tout

, il existe

tel que :

.
Q25. En déduire que la matrice

est la matrice de

dans la base canonique de

Partie C - Régression linéaire simple

On pose

le vecteur colonne à

lignes contenant que des 1 .
On note

un vecteur colonne donné et non colinéaire à

.
Soit

la matrice :

.
Lors d'un processus expérimental d'entrée

, on recueille l'observation

. On répète ce même processus avec l'entrée

, on recueille l'observation

. Ainsi de suite jusqu'au dernier processus d'entrée

, où on recueille l'observation

On note le vecteur

contenant donc les

observations après les

processus expérimentaux d'entrées

.
On pose

la fonction définie par :

I - Minimisation de sur un exemple

On prend dans cette sous partie,

.
Q26. Expliciter la fonction

et justifier qu'elle est de classe

sur

.
Q27. Calculer les dérivées partielles de

.
Q28. En déduire que

admet un unique point critique dans

que l'on précisera.
Q29. Montrer qu'en ce point

atteint son minimum. Pour tout

, on écrira

sous la forme

où

II - Minimisation de via une projection orthogonale

On se place dans les conditions énoncées dans le préambule de la partie C .
Q30. Démontrer que:

. Justifier que

est de classe

sur

Q31. Calculer le gradient de

noté

.
Q32. Montrer que:

.
Q33. Justifier à l'aide de la partie B que la matrice

est inversible.
Q34. Montrer que si

admet un extremum en (

) alors

.
On note

le projecteur orthogonal sur

.
Q35. Justifier que

.
Q36. En déduire que

est le minimum de

sur

III - Une autre expression de la solution du problème de minimisation de

On note :

les valeurs moyennes et

Q37. Montrer que

Q38. Montrer que

où

.
Q39. Montrer que

.
Q40. En déduire que la matrice

est inversible et montrer que

.
Q41. En déduire que :

Q42. Un exemple d'application
Soit la fonction

définie sur

par :

Déterminer en quel point le minimum de

sur

est atteint.

IV - Espérance des estimateurs de l'argmin

On suppose que chaque

, pour

, est une observation d'une variable aléatoire réelle

.
On suppose que les variables aléatoires

suivent toutes la même loi et sont deux à deux indépendantes.
On modélise le processus expérimental à l'aide du modèle linéaire, c'est à dire on suppose que :

Pour où est une variable aléatoire réelle.
On suppose que les variables suivent toutes la même loi, sont centrées et d'écart type noté , et sont deux à deux indépendantes.
On note le vecteur aléatoire dont les coordonnées sont les variables aléatoires .
De même, on note le vecteur aléatoire dont les coordonnées sont les variables aléatoires .
Q43. Déterminer l'espérance de en fonction des nombres réels et .
Q44. Déterminer la variance de en fonction de .
On pose le vecteur aléatoire .
Ainsi définies, et sont des variables aléatoires réelles appelées estimateurs des coefficients par la méthode des moindre carrés.
On note : et on définit les variables aléatoires

Q45. Déterminer l'espérance de

en fonction des nombres réels

.
Q46. Justifier que

et que

.
Q47. Déterminer l'espérance de

Q48. Déterminer l'espérance de